数学の考え方

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• 一般向けの数学書
  • 吉田洋一，零の発見 : 数学の生いたち， 岩波新書 (1939)
  • リュディガー・ティーレ原著 ; 金井省二訳，証明のすすめ : 数学の証明， 森北出版 (1990).
  • 野崎　昭弘・何森　仁・伊藤　潤一・小澤　健一 著， 数と計算の意味がわかる， ベレ出版 (2000).
  • 野崎　昭弘・何森　仁・伊藤　潤一・小澤　健一 著， 微分・積分の意味がわかる， ベレ出版 (2000).
  • 野崎　昭弘・何森　仁・伊藤　潤一・小澤　健一 著， 統計･確率の意味がわかる， ベレ出版 (2001).
  • 大上 雅史／和田 純夫 著， 数学が解き明かした物理の法則， ベレ出版 (2003).
  • 野崎昭弘，不完全性定理 : 数学的体系のあゆみ， 日本評論社 (1996)
  • 寺阪英孝，非ユ-クリッド幾何の世界 : 幾何学の原点をさぐる （ブルーバックス） 講談社 (1984).
  • 小松醇郎， いろいろな幾何学，岩波新書 (1977)
  • 竹内外史， 集合とはなにか : はじめて学ぶ人のために (ブル−バックス)， 講談社 (1982/1991)

• 数学史，数学者の伝記など
  • L.インフェルト著，市井三郎訳， ガロアの生涯 : 神々の愛でし人， 日本評論社 (1969/1996)
  • M.マシャル著，高橋礼司訳，ブルバキ : 数学者達の秘密結社， シュプリンガー・フェアラーク東京 (2002)
  • ブルース・シェクター著，グラベルロード訳， My brain is open : 20世紀数学界の異才ポール・エルデシュ放浪記， 共立出版 (2003)

• web ページなど
  • 渕野 昌， 数学の中の無限 --- 無限の中の数学
  • John J O'Connor and Edmund F Robertson, The MacTutor History of Mathematics archive --- 数学史のアーカイヴ（英語）
  • 12 さんすう 34 数学 5 Go!

問題．

解答例．

今確率について教えていただいていますが， 前回の講義で "n P m", "n C m" が出てきましたが， "C" は チョイスの C だとおっしゃられたのですが，僕は "P" はパームテイションの P "C" は コンビネーションの C と習ったのですが，違うのでしょうか？

調べてみたところ，君の言う通り "permutation" と "combination" がそれぞれ "n P m" と "n C m" の P と C の由来のようです．不確かなことを言ってごめんなさい．

5人の人が集まったとき，その中に少なくとも二人は同じ月に生れた人がいる確率の問題で， 友人で考えてみたら誰一人として同じにならないので不思議な気がします．

62% というのは，1/2 強ということですから， たまたま，5人くらいの友人の誕生日が重ならなくれも， それほどびっくりすることでもないと思います． もし，たとえば 5人の組を 10組くらい（ランダムに） 作って，どの組にも同じ誕生日の人がいなかったとしたら，これはかなり驚くべきことでしょうが． ちなみに，5人の組を 10組作ったときにどの組にも同じ誕生日の人がいない確率は， 1 - 0.6180555... の 10 乗で，これは 0.0000660696... という限りなく 0 に近い値になります．

数学の中で問題を考えると，頭を使うのでかなり疲れます．

数学の問題を考えると疲れるというのは，自然なことです． 運動不足の人が急に運動すると，次の日に筋肉痛になったりしますが， 考えることもこれと似たところがあります． 毎日運動をすると筋肉が鍛えられて，ちょっとの運動では筋肉痛になったりしなくなるように， 日頃考える習慣があると思考能力も鍛えられてゆきます． ただし，「馬鹿の考え休むに似たり」という諺もあるように，やみくもに考えるのではだめで， どうやったら効率良く考えられるかについて考えながら考える， また自分が考えていることが間違っていないか， それをチェックするにはどうしたらいいか，についても考える， というようなことも必要です．スポーツ選手の場合には， コーチがどういう練習をやったら効率的かを指導してくれるわけですが， 頭の使い方に関しては，自分で自分流のやり方を考案してゆくしかないように思えます． まあ，数学的な頭の使い方に限定して言えば， この講義でも， 考えるヒントのようなものを色々と提供していっているつもりですが．
それから，数学といっても，数学の研究の最前線の仕事をしているときの，頭の使い方は，君が 「数学の問題を考えると疲れる」と言っているのとはちょっと桁の違うものです． たとえば未解決の問題を解くために２年も３年も考え続けるということがあります． この場合もちろんその問題だけを考えているわけではありませんが，問題がいつも頭のすみにあって， 歩いているときや眠っているときにも，その問題を反芻して考え続けることになります． このように長期にわたって考えるときには集中力だけでなく持続力も必要です．
もちろん考えるべき問題というのは，数学の問題に限るわけではありません．問題によっては， ただ考えるだけでなく行動しながら考えることが必要になる場合もあるかもしれません．
逆に何も考えずに脳死状態で一生を送ることもできなくはないでしょう． これはその人のその人の選択の問題なので，とやかく言うべきことではないのかもしれませんが， 私は，人間どうせいつかは死んでしまうのだから，それまでに， 思考能力を含む自分が潜在的に持っている可能性を全部出しきってみる方が， ずっとお得なのではないか，と思うのですが ...
それから頭をつかうことに関しては， もし積極的にいろんなことを考えてみようと思うなら，君たちは今が最後のチャンスです． 私の経験から言うと，思考能力の老化は非常に早くはじまるので， 遅くとも20歳台前半くらいに老化の歯止めをかけたり，改善をはかったりしはじめないと， その後はもうとりかえしがつかないことが多いようなのです．

← このマークは何なんでしょう？

ギリシャ文字の小文字の ``ファイ'' です．ギリシャ文字のファイにはほかに異字体の φ （← コンピュータのフォントセットによっては， ここで上の"マーク"と同じ記号が表示される可能性があります）と大文字の Φ もあり， どれも数学で使われることが多い文字です． 数学ではアルファベットだけでは記号が足りなくなることが多いので， ギリシャ文字やヘブライ語の文字なども使われます．

音楽と数学の関係についての話を聞いてみたいと思います． （高校で数学教師をしていた祖父が 「音楽ができる人は数学もたいていできる」と言っていてそれは真実かなと思ったので）

講義で音楽と数学の関係についての話ができるかはどうかはわかりませんが， 確かに，音楽と数学には深い関係があるという主張を聞くことがあります．ただ， 「音楽ができる人は数学もたいていできる」というのはむしろ「できる人はなんでもできる」 ということなのかな，という気もしますが ... 「音楽ができる」というのは， 耳や演奏能力ということでしょうか？
美学的な面では音楽と数学の間には色々と共通点があると思いますが， 能力ということに関しては音楽の演奏能力と数学的能力の関係はあまりないような気がします． もっとも数学者の中に音楽の好きな人や楽器の演奏にたけている人が沢山いることは事実です． 私がベルリンの大学につとめていた時に， 客員研究員としてやはりベルリンに滞在していたスイス人の数学者は， チューリッヒの ETH（工科大学）で博士論文を書くのと平行して， チューリッヒ音楽大学でフルートの演奏家試験をうけて卒業した人で， 彼とはバッハのフルート・ソナタやプランクのフルート・ソナタなどをあわせたりしました． この人のように音大まで出てしまった数学者はそれほど多くないと思いますが， アマチュアの演奏家なら沢山います．
数学の基礎付けに関する研究をしたパウル・ベルナイズ(1888--1977)は， 若いころ，音楽家になるか数学者になるか迷ったことがあるということで， ピアノをよく弾き，ヴィーンのオーケストラに演奏されたことのある作曲もある，ということです． 日本人の数学者の例で言うと，幾何学者の小平邦彦(1915--1997)はピアノが趣味で NHK のインタヴュー番組でショパンの小品の演奏を披露したことがあるということです．
理論物理学者というのも広い意味での数学者と言えると思いますが， 量子力学の創設者の一人であるハイゼンベルクもピアノの名手だったということです． またアインシュタインはバイオリンをよく弾きましたが， ハイフェッツだか誰だか高名なバイオリニストと合奏をしてもらったときに， 休符がうまく数えられなくて，「あなたは高名な数学者なのに 4も数えられないのですか」 という皮肉を言われたというエピソードが残っています．
一方，クラシック音楽の作曲と数学の研究は， ともに今までにないものをほとんど無から作りだす， という意味では共通点が多いように思えます． しかし，音楽家で，数学に興味を持っていたり， ある程度の知識を持っていたりする人はあまり多くないように思えます． ジョルジュ・リゲティというハンガリー出身の20世紀後半以降の西洋音楽を代表する作曲家がいますが， この人のインタビューをまとめた "Träumen Sie in Farbe?" （あなたは原色の夢を見ますか？）という題の本を最近読みました． この本での彼の発言を読むと，リゲティは現代数学に大変興味を持っていることがわかります．
芸術家の中には，数学を応用した，とか物理学を応用した，というのをセールスポイントにしたり， 自分の作品の権威づけに悪用する人も少なからずいます．しかし，これはここでは問題外でしょう．

身近な生活にどのような数学が使われているか知りたい．

これはなかなか難しい要求のような気がします．よく， 「私は ... 年生きているが，いままでの人生で○○は一度も使わずにすんでいる」 というような発言をする人がいます．○○は，微分だったり積分だったり三角関数だったり色々ですが， 極端な言い方をすれば，知的レベルの面では石器時代の生活をしていたとしても， ある意味では現代文明の恩恵にあずかれるわけなので，そう考えると， 身近な生活では，べつに自分からはどのような数学も使わなくてもいい， というのが答のような気もします．
「身近な生活にどのような数学が使われているか」というのが， 「身近に毎日体験するような事柄とむすびつけた数学の話がききたい」という意味なら， たとえば，コンピュータ1つとっても，これと関連した数学の話をしようと思ったら 2学期かけても3学期でもかけても終らないくらいの分量の話ができます． 実際私が今執筆中の本のうちの一冊はコンピュータの数学に関するものですが， 書いているうちに出版社に言われていた分量におさまりきらないことがわかってきたため， 分冊して2つの本にしようと考え出しています．

簡単すぎてつまらない．授業スピードが遅い．

簡単すぎてつまらない，というのは本当でしょうか？
もちろん難易度の高い講義を早いスピードでやる方がこちらはずっと楽なのですが．
これを書いてくれた人がどういう意味で「簡単すぎる」と言っているのか説明がないため， こちらで臆測して書くしかないのですが，ひょっとするとこれを書いた人は 「講義の先を読む」ということを全くしていないのではないかと思います．たとえば， この一回目の講義では， 「ベクトルの足し算や定数倍は数の足し算や定数倍とよく似た性質を持っている」 と言ったと思いますが，もちろん，私は，受講者がこのリマークを聞いて 「何が似ていて何が違うか」ということを先読みをして自分で考えてみるということを期待しています． たとえば，２回目の講義でも話したように， 「すべての a,b,c に対し (a+b)+c=a+(b+c) が成り立つ」 という計算規則は数の足し算でもベクトルの足し算でも成立する性質です． 逆に，数の場合は， 「すべての a は 1の定数倍として得られる」という性質が成立ちますが， 2次元以上の次元のベクトルでは，この 1 に相当するものをとることはできません． そのようなことやその他のことについて， 考えをめぐらすための足場になるようなアイデアが講義の中で沢山提供されているはずです． (この項目はまだ工事中です)