1 ♢ と ♣

Proposition 1 κ を regular S ⊆_{stat} κ として， ♢_{κ}(S) が成り立つとする． P を κ-c.c. を満たす濃度が ≤ κ の p.o. とするとき， ∥–_{P} “ ♢_{κ}(S) ” が成り立つ．

Proof 一般性を失うことなく P の underlying set は κ としてよい． ⟨x_{α} : α ∈ S⟩ を κ × κ の subset を guess するような ♢_{κ}(S)-sequence とする．つまり， x_{α} ⊆ α × α で，すべての X ⊆ κ × κ に対し， {α ∈ S : X ∩ (α × α) = x_{α}} は stationary になるようなものとする．各 x_{α} は α の subset の P -name ẋ_{α} = {⟨α̌, p⟩ : ⟨α, p⟩ ∈ x_{α}} と同一視できる．

以下で， ∥–_{P} “ ⟨ẋ_{α} : α ∈ S⟩ is a ♢_{κ}(S)-sequence ” を示す．

Ẋ を κ の subset の P -name とする． Ẋ ⊆ {⟨α̌, p⟩ : α ∈ κ, p ∈ P } で，各 α ∈ κ に対し， {p ∈ P : ⟨α̌, p⟩ ∈ Ẋ} は pairwise incompatible となっているとしてよい． P は κ-c.c. を満たすことから，この集合は濃度 < κ を持つ． Ċ を κ の club subset の P -name とすると， P は κ-c.c. だから， club set C ⊆ κ で ∥–_{P} “ C ⊆ Ċ ” となるものが存在する． α ∈ C で， ∥–_{P} “ ẋ_{α} = Ẋ ∩ α ” となるものが存在することが示せれ十分である． X = {⟨α, p⟩ : ⟨α̌, p⟩ ∈ Ẋ} とする．

D = {α < κ : ∀β < α ∀γ < κ(⟨β, γ⟩ ∈ X → γ < α)}

とすると， D は κ の club subset となる． α ∈ C ∩ D ∩ S を x_{α} = X ∩ (α × α) となるようにとれば， ∥–_{P} “ ẋ_{α} = Ẋ ∩ α ” である． (Proposition 1)

\underline{数学ノート 2000/2001} 2

2 Lebesque Density Theorem

Let σ : ω → ω \ 2 and X = ∏_{i∈ω} 2^{σ(i)}. Let S = ⋃_{n∈ω} ∏_{i≤n} 2^{σ(i)}. For s ∈ S, [s] = {f ∈ X : s ⊆ f}. X can be seen as the topological space with basic open sets [s], s ∈ S. For s ∈ S, let

m_{x}([s]) = ∏_{i<dom(s)} \frac{1}{σ(i)}.

m_{X} extends uniquely to a measure on Borel(X) which we shall also call m_{X}. Let

Null(X) = {N ⊆ X : N ⊆ U for some U ∈ Borel(X) with m_{X}(U) = 0} .

We can easily show:

Null(X) = {N ⊆ X : ∀ ε > 0 ∃U ∈ Open(X) ( N ⊆ U ∧ m_{X}(U) < ε)}

Let

L_{(X)} = {U △ N : U ∈ Borel(X) and N ∈ Null(X)} .

Then

L_{(X)} = {V ⊆ X : m_{X}^{∗}(V) = _{∗}m_{X}(V)}

[ show that both sets are σ-subalgebra of P(X) generated from Borel(X) ∪ Null(X). ] The measure m_{X} can be uniquely extended to a measure on L_{(X)} by

m_{X}(U △ N) = m_{X}(U)

for U ∈ Borel(X) and N ∈ Null(X).

For E ∈ L_{(X)} and f ∈ X, let

d_{E}(f) = lim inf_{k→∞} \frac{m_{X}(E ∩ [f |` k])}{m_{X}([f |` k])}

and

ϕ(E) = {f ∈ X : d_{E}(f) = 1} .

Theorem 2 (Lebesque Density Theorem) For an E ∈ L_{(X)}, E △ ϕ(E) is a nullset.

Proof First, note that ϕ(E) \ E ⊆ (X \ E) \ (ϕ(X \ E)) [ x ∈ ϕ(E) \ E ⇒ x ∈ X ∧ d_{E}(x) = 1 ∧ x ∉ E ⇒ x ∈ X \ E ∧ d_{X\E}(x) ≠ 1 ] Hence it is enough to show that E \ ϕ(E) is a nullset for every E ∈ L_{(X)}.

For 1 > ε > 0, let

ϕ_{ε}(E) = {x ∈ E : d_{E}(f) < 1 − ε}.

Then

E \ ϕ(E) = ⋃_{n≥1} ϕ_{\frac{1}{n}} (E).

Thus it is enough to show that each ϕ_{ε}(E) is a nullset.

Suppose not. Then for some 0 < ε < 1,

m_{X}^{∗}(ϕ_{ε}(E)) = inf{m_{X}(G) : G ⊆_{open} X, ϕ_{ε}(E) ⊆ G} > 0 .

Let G^{∗} ⊆_{open} X be such that ϕ_{ε}(E) ⊆ G^{∗} and

m_{X}(G^{∗}) < \frac{m_{X}^{∗}(ϕ_{ε}(E))}{1 − ε}.

Let

E = {[s] : s ∈ S, [s] ⊆ G^{∗}, m_{X}(E ∩ [s]) ≤ (1 − ε) · m_{X}([s])}.

Claim 2.1 (i) For any x ∈ ϕ_{ε}(E) and δ > 0, there is a [s] ∈ E such that x ∈ [s] and m_{X}([s]) < δ.

(ii) If [s_{n}] ∈ E, n ∈ ω are pairwise disjoint, then m_{X}^{∗}(ϕ_{ε}(E) \ ⋃_{n∈ω}[s_{n}]) > 0 .

⊢ (i): s = x|` N for large enough N ∈ ω will do.

(ii) follows from:

m_{X}^{∗}(ϕ_{ε}(E) ∩ ⋃_{n∈ω}[s_{n}]) ≤ m_{X}(E ∩ ⋃_{n∈ω}[s_{n}])

≤ (1 − ε) ∑_{n∈ω} m_{X}([s_{n}])

≤ (1 − ε)m_{X}(G^{∗})

< (1 − ε) · \frac{m^{∗}(ϕ_{ε}(E))}{1 − ε} = m^{∗}(ϕ_{ε}(E)).

⊣ (Claim 2.1)

Now construct a sequence ⟨[s_{n}] : n ∈ ω⟩ of elements of E as follows:

(1) [s_{0}] ∈ E with ℓ(s_{0}) minimal among elements of E.

(2) If [s_{0}], … [s_{n}] have been chosen, let

E_{n} = {[s] ∈ E : [s] is disjoint from [s_{0}] ∪ ⋯ ∪ [s_{n}]}.

Then E_{n} ≠ ∅ by Claim 2.1 (ii) (and (i)). Let [s_{n+1}] ∈ E_{n} be such that ℓ(s_{n+1}) is mimimal among elements of E_{n}.

Let B = ϕ_{ε}(E) \ ⋃_{n∈ω}[s_{n}]. By Claim 2.1 (ii), m_{X}^{∗}(B) > 0.

Suppose x ∈ B. By Claim 2.1 (i), there is [s] ∈ E such that x ∈ [s].

Claim 2.2 There is n ∈ ω such that [s] ∩ [s_{n+1}] ≠ ∅.

⊢ Otherwise [s] ∈ E_{n} for all n ∈ ω. But then ℓ(s_{n+1}) ≤ ℓ(s) for all n ∈ ω and m_{X}(⋃_{n∈ω}[s_{n}]) = ∞. A contradiction. ⊣ (Claim 2.2)

Let n ∈ ω be minimal such that [s] ∩ [s_{n}] ≠ ∅. Then by minimality of ℓ(s_{n}), we have s_{n} ⊆ s and hence x ∈ [s_{n}]. This is a contradiction to x ∉ ⋃_{n∈ω}[s_{n}]. (Theorem 2)

3 Random reals

X = ∏_{n∈ω} 2^{2^{2n}} を discrete spaces の product space と見て， Borel(X) 上の product measure μ を考える．

P = {p ∈ Borel(X) : μ(p) > 0}

を inclusion により p.o. と見たとき， P は random algebra と co-complete になる（つまり P の Boolean algebraic completion は random algebra と同型になる）．

P 上 M-generic set G は {r} = ∩G となる real r ∈ ( ∏_{n∈ω} 2^{2^{2n}})^{M[G]} に対応する．

Proposition 3 r を上の意味で P 上 M-generic な real とするとき， r は ( ∏_{n∈ω} 2^{2^{2n}})∩

                                                                                                                        evdiff

M の各元と eventually different になる．

Proof t ∈ ( ∏_{n∈ω} 2^{2^{2n}}) ∩ M と p ∈ P を任意にとる． ṙ を上のような r の P -name とする．このとき q ≤ p で q ∥–_{P} “ t and ṙ are eventually different ” となるものが存在することを示せばよい． Lebesque Density Theorem により，ある k_{0} と s ∈ ∏_{n≤k_{0}} 2^{2^{2n}} で，

(∗) μ(p ∩ [s]) > \frac{1}{2}μ([s]) = \frac{1}{2} ∏_{n≤k_{0}} 2^{−2^{2n}}

となるものがとれる．ここで

\frac{1}{2} ∏_{n≤k_{0}} 2^{−2^{2n}} ≥ 2^{−2^{2k_{0}+1}}

となることに注意する [ ∑_{n≤k_{0}} 2^{2n} + 1 ≤ 2^{2k_{0}+1} が k_{0} に関する帰納法で証明できるから，

\frac{1}{2} ∏_{n≤k_{0}} 2^{−2^{2n}} = \frac{1}{2}2^{− ∑_{n≤k_{0}} 2^{2n}} ≥ 2^{−2^{2k_{0}+1}} となる].

このとき，

q = {x ∈ p : x(n) ≠ t(n) for all n > k_{0}}

とすると，

q = p \ ⋃_{n>k_{0}} [{⟨n, t(n)⟩}]

となるが，

μ( ⋃_{n>k_{0}} [{⟨n, t(n)⟩}]) < ∑_{n>k_{0}} 2^{−2^{2n}} < 2^{−2^{2(k_{0}+1)−1}} = 2^{−2^{2k_{0}+1}}

だから， (∗) とその後の注意により， μ(q) > 0 がわかる．したがって q ∈ P だが，明らかに q ∥–_{P} “ t and ṙ are eventually different ” となる． (Proposition 3)

κ > λ とする． E_{λ}^{κ} = {α < λ : cf(α) = κ} とする． λ が正則基数のとき， E_{λ}^{κ} は λ の stationary subset となる．

♣(E_{λ}^{κ}) : ∃⟨x_{α} : α ∈ E_{λ}^{κ}⟩[∀α ∈ E_{λ}^{κ} (x_{α} ⊆_{cofinal} α) ∧ ∀X ∈ [λ]^{λ} ∃α ∈ E_{λ}^{κ} (x_{α} ⊆ X)] とする．また上のような ⟨x_{α} : α ∈ E_{λ}^{κ}⟩ を ♣(E_{λ}^{κ})-sequence と呼ぶことにする．

generalized reaping number を

r(κ, λ) = min{| F | : F ⊆ [λ]^{κ}, ∀A ⊆ λ ∃b ∈ F (b ⊆ A ∨ b ⊆ λ \ A)}

と定義する．

Fact 4 (1) ♣(E_{λ}^{κ}) が成り立つなら， r(κ, λ) ≤ λ である． easy (2) r(κ, λ) は第一変数に関して increasing である．

(3) r(κ, λ) は第二変数に関して decreasing である．

(4) すべての λ ≥ κ ≥ ℵ_{0} に対し， r(κ, λ) ≥ κ^{+} が成り立つ．

Proof (1): ⟨x_{α} : α ∈ E_{λ}^{κ}⟩ を ♣(E_{λ}^{κ})-sequence とすると F = {x_{α} : α ∈ E_{λ}^{κ}} は濃度 λ で， r(κ, λ) の定義でのようなものとなっている．

(2): λ ≥ κ ≥ κ′ とする． F ⊆ [λ]^{κ} を r(κ, λ) の witness として， μ = | F | = r(κ, λ) とする．各 b ∈ F に対し， c_{b} ∈ [λ]^{κ′} を c_{b} ⊆ b となるように選ぶ． F′ = {c_{b} : b ∈ F} とすると， F′ は r(κ, λ) ≤ μ の witness となる．

(3): λ ≥ λ′ ≥ κ とする． F ⊆ [λ′]^{κ} を r(κ, λ) の witness として， μ = | F | = r(κ, λ′) とする．このとき， F は r(κ, λ) ≤ μ の witness となっている．

(4): Diagonal argument. (Fact 4)

Theorem 5 (J. Brendle) λ ≥ κ > ℵ_{0} に対し， r(κ, λ) ≥ cov(null) が成り立つ． joerg

Corollary 6 λ > κ > ℵ_{0} で λ は正則基数とする， cov(null) が λ より真に大きいとする．このとき r(κ, λ) も λ より真に大きくなる．特に ¬♣(E_{λ}^{κ}) となる．

Proof 後半は Fact 4 からよい． (Corollary 6)

Proof of Theorem 5 : Fact 4(2) により，

すべての λ > ℵ_{0} に対し， r(ℵ_{1}, λ) ≥ cov(null) となる．

を示せばよい．このために，ある λ > ℵ_{0} に対し， r(ℵ_{1}, λ) < cov(null) となったと仮定して矛盾を導く． λ > ℵ_{0} をこのようなもののうち最小のものとする．このとき， r(ℵ_{1}, λ) ≥ λ となる： μ = r(ℵ_{1}, λ) とする． Fact 4(4) により， μ > ℵ_{1} である．もし r(ℵ_{1}, λ) < λ だったとすれば， F を r(ℵ_{1}, λ) の witness とすれば， S = ⋃ F として， F は r(ℵ_{1}, S) の witness でもある． | S | = μ だから， Fact 4(3) により， r(ℵ_{1}, μ) = r(ℵ_{1}, S) ≤ r(ℵ_{1}, λ) < cov(null) となり λ の最小性に矛盾する．

F ⊆ [λ]^{ℵ_{1}} を r(ℵ_{1}, λ) の witness とする． | F | = r(ℵ_{1}, λ) である． F の各元は odertype ω_{1} を持つとしてよい． | F |, λ < cov(null) だから， χ を十分に大きくとって， M_{α} ≺ H(χ), x_{α} ∈ H(χ), α ≤ λ を次を満たすようにとれる．

P = Borel( ∏_{n∈ω} 2^{2^{2n}}) \ Null( ∏_{n∈ω} 2^{2^{2n}})

とする． (0) F ∈ M_{0}, F ⊆ M_{0}, | F | = | M_{0} |;

(1) すべての α ≤ λ に対し， ⟨x_{β} : β < α⟩ ∈ M_{α}. α < λ なら， x_{α} ∈ M_{α+1};

(2) すべての α ≤ λ に対し， x_{α} は P^{M_{α}} 上 M_{α}-generic.

このとき， x_{α}, α ≤ λ は互いに eventually different となる（Proposition 3 を参照）． M_{λ}[x_{λ}] で，

A = {α ∈ λ : min{n ∈ ω : ∀l > n (x_{α}(l) ≠ x_{λ}(l)} は偶数}

とする． Ȧ ∈ M_{λ} を A の P^{M_{λ}}-name とする．各 α < λ に対し， A_{α} = A ∩ α とする． A_{α} は， ⟨x_{β} : β < α⟩ と x_{λ} から構成できるから， A_{α} ∈ M_{α}[x_{λ}] である． Ȧ_{α} ∈ M_{α} を A_{α} の P^{M_{α}}-name とする．

このとき，次が成り立つことを示すが，これは F の選び方に矛盾である．

Claim 5.1 すべての b ∈ F に対し， b ⊈ A かつ b ⊈ λ \ A である．

⊢ b ∈ F をとる． γ = sup b とする． γ ≤ λ であるが， cf(γ) = ω_{1} となることに注意する． M^{γ} = ⋃_{α<γ} M_{α} とする．以下で，

(∗) ある α^{∗} < γ に対し， ; M^{γ} ⊧ ∥–_{P} “ b ∩ Ȧ_{α^{∗}} ≠ ∅ ∧ b ∩ (α^{∗} \ Ȧ_{α^{∗}}) ≠ ∅ ” ; となる

ことを示すが，このことから， elementarity により，

M_{λ} ⊧ ∥–_{P} “ b ∩ Ȧ_{α^{∗}} ≠ ∅ ∧ b ∩ (α^{∗} \ Ȧ_{α^{∗}}) ≠ ∅ ”

となる． M_{λ} ⊧ ∥–_{P} “ Ȧ_{α^{∗}} = Ȧ ∩ α ” だから，このことから，

M_{λ} ⊧ ∥–_{P} “ b ∩ Ȧ ≠ ∅ ∧ b ∩ (λ \ Ȧ) ≠ ∅ ”

となることがわかり， M_{λ}[x_{λ}] で — したがって elementarity により V でも — b ⊈ A かつ b ⊈ λ \ A となることが帰結される．

(∗) を示すためには P が c.c.c. を満たすことから，次が成り立つことが示せればよい：

(∗∗) M^{γ} で，すべての p ∈ P に対し， q ≤ p と α < γ で， ; q ∥–_{P} “ b ∩ Ȧ_{α} ≠ ∅ ∧ b ∩ (α \ Ȧ_{α}) ≠ ∅ ” ; となるものが存在する．

(∗∗) が示せたとすると， P^{M^{γ}} は外から見たときにも c.c.c. を満たすから（測度による議論を外でも行なえる），

{q ∈ P^{M^{γ}} : q ∥–_{P^{M^{γ}}} “ b ∩ Ȧ_{α} ≠ ∅ ∧ b ∩ (α \ Ȧ_{α}) ≠ ∅ ” となる α < γ が存在する}

の countable subset S で P^{M^{γ}} で predense となるものが存在する． q ∈ S に対し， α(q) < γ を

q ∥–_{P^{M^{γ}}} “ b ∩ Ȧ_{α(q)} ≠ ∅ ∧ b ∩ (α(q) \ Ȧ_{α(q)}) ≠ ∅ ”

となるようにとる． cf(γ) = ω_{1} だから，

α^{∗} = sup{α(q) : q ∈ S} < γ

である．このとき， M^{γ} で

∥–_{P} “ b ∩ Ȧ_{α^{∗}} ≠ ∅ ∧ b ∩ (α^{∗} \ Ȧ_{α^{∗}}) ≠ ∅ ”

が成り立つ． (∗∗) は次のようにして示せる：

p ∈ P ∩ M^{γ} とすると， cf(γ) = ω_{1} だから， α_{0} ∈ b で p ∈ M_{α_{0}} となるものがとれる． p は nullset でないから， s_{0} ∈ S = ⋃_{n∈ω} ∏_{l∈n} 2^{2^{2l}} で， s_{0} + x_{α_{0}} ∈ p となるものがとれる． Lebesque Density Theorem により， M_{α_{0}} で

\{x ∈ p : lim inf_{k→∞} \frac{μ(p ∩ [x|` k])}{μ([x|` k])} ≠ 1\}

は nullset となる． s_{0} + x_{α_{0}} は M_{α_{0}} 上 random だから，この集合の元でない．したがって，

lim inf_{k→∞} \frac{μ(p ∩ [(s_{0} + x_{α_{0}})|` k])}{μ([(s_{0} + x_{α_{0}})|` k])} = 1

となる．よって，十分に大きな k_{0} ∈ ω をとると，

(1) μ(p ∩ [(s_{0} + x_{α_{0}})|` (k_{0} + 1)]) > \frac{1}{2} ∏_{n≤k_{0}} 2^{−2^{2l}} ≥ 2^{−2^{2k_{0}+1}}

とできる（最後の不等式については Proposition 3 の証明を参照）． k_{0} は | s_{0} | より大きく，奇数であるとしてよい．

p_{0} = {x ∈ p : x(k_{0}) = x_{α_{0}}(k_{0}) ∧ ∀n > k_{0} [x(n) ≠ x_{α_{0}}(n)]}

とすると p_{0} ∈ Borel(∏_{n∈ω} 2^{2^{2n}}) だが，

(2) μ({x ∈ ∏_{n∈ω} 2^{2^{2n}} : ∃n > k_{0}[x(n) = x_{α_{0}}(n)]}) = ∑_{n>k_{0}} 2^{−2^{2n}} < 2^{−2^{2k_{0}+1}}

となるから， (1), (2) により， μ(p_{0}) > 0 となる．したがって p_{0} ∈ P である．同様に α_{1} ∈ b, α_{0} < α_{1} と十分に大きな偶数 k_{1} > k_{0} をとって，

p_{1} = {x ∈ p_{0} : x(k_{1}) = x_{α_{1}}(k_{1}) ∧ ∀n > k_{1} [x(n) ≠ x_{α_{1}}(n)]}

が P の元になるようにできる． α = α_{1} + 1 とすれば， M_{α} で

p_{1} ∥–_{P} “ α_{1} ∈ Ȧ_{α} ∧ α_{0} ∈ (α \ Ȧ_{α}) ”

となる．したがって， elementarity から， H(λ) で，したがって V で，

p_{1} ∥–_{P} “ b ∩ Ȧ_{α} ≠ ∅ ∧ b ∩ (α \ Ȧ_{α}) ≠ ∅ ”
となる．  ⊣ (Claim 5.1)  (Theorem 5)

4 Real-valued measurable cardinals

Theorem 7 κ ≤ 2^{ℵ_{0}} を real-valued measurable cardinal とする．このとき， (a) b ≠ κ,

(b) d ≠ κ.

Proof (a): b = κ と仮定して矛盾を導く． b = κ なら，^{ω}ω の ≤^{∗} に関する上昇列 ⟨f_{α} : α < κ⟩ で，すべての f ∈ ^{ω}ω に対し， f_{α} ≰^{∗} f となる α がとれるようなもの，つまり， {f_{α} : α < κ} が^{ω}ω で ≤^{∗} に関して unbounded となっているようなものが存在する．

n, k ∈ ω に対し，

A_{n,k} = {α < κ : f_{α}(n) = k}

とする． n ∈ ω を固定すると，すべての α < κ に対し f_{α}(n) = k となる k ∈ ω がとれるから， κ = ⋃_{k∈ω} A_{n,k} となることがわかる．

ν を κ 上の κ-additive measure とすると，各 n ∈ ω に対し， g(n) ∈ ω で，

ν ( ⋃_{k∈g(n)} A_{n,k}) ≥ 1 − \frac{1}{2^{n+2}}

となるものがとれる．

A = ⋂_{n∈ω} ⋃_{k∈g(n)} A_{n,k}

とすると，

ν(A) ≥ 1 − ∑_{n∈ω} \frac{1}{2^{n+2}} = \frac{1}{2}

となる．特に， ν の κ-additivity から， | A | = κ である． α ∈ A なら， g の定義から， f_{α} < g となるが， ⟨f_{α} : α < κ⟩ は ≤^{∗} に関する上昇列だったから， f_{α} ≤^{∗} g がすべての α に対し成り立つことが結論できる．これは， {f_{α} : α < κ} が unbounded であることに矛盾である．

(b): (a) でと同様の議論により示せる． d = κ だったとして矛盾を示す．モデルの上昇列 ⟨M_{α} : α < κ⟩, M_{α} ≺ H(χ) と^{ω}ω の元の列 ⟨f_{α} : α < κ⟩ を次が成り立つようにとる：

(1) ^{ω}ω ∩ (⋃_{α<κ} M_{α}) は ≤^{∗} に関し^{ω}ω で cofinal,

(2) すべての α < κ に対し， | M_{α} | < κ,

(3) すべての α < κ に対し， f_{α} ∈ M_{α},

(4) すべての α < κ と f ∈ ⋃_{β<α} M_{α} に対し， f_{α} ≰^{∗} f.

上での ⟨f_{α} : α < κ⟩ に対し， A_{n,k}, n, k ∈ ω, g : ω → ω, A を (a) の証明でと同様に定義する．このとき， (1) により，ある α^{∗} < κ と f^{∗} ∈ M_{α^{∗}} で， g ≤^{∗} f^{∗} となるものがとれる． (a) の証明でと同様に | A | = κ だから， α^{∗∗} ∈ A で α^{∗} < α^{∗∗} となるものがとれる．このとき， g と A の定義から， f_{α^{∗∗}} < g となるから， f_{α^{∗∗}} ≤^{∗} f^{∗} である．ところがこれは上の (4) に矛盾である． (Theorem 7)

5 Squares

次の証明は吉信君におそわったもの：

Theorem 8 (Solovay) Suppose that κ is a Mahlo cardinal and λ < κ is a regular uncountable cardinal. For P = Col(λ, < κ) we have ∥–_{P} “ ¬□_{λ} ”.

Proof Suppose, for contradiction, that there are p ∈ P and P -name Ċ such that

p ∥–_{P} “ Ċ is a □_{λ}-sequence ”.

Since κ is Mahlo, there is an inaccessible λ < μ < κ such that p ∈ P′ = Col(λ, < μ) and

p ∥–_{P′} “ Ċ′ is a □_{λ}-sequence ”

where Ċ′ = Ċ ∩ V^{P′}.

Let G′ be a V -generic set over P′ and G a V -generic set over P containing G′. Let C′ = Ċ^{′V [G′]} and C = Ċ^{V [G]}. Then

V [G] ⊧ κ = λ^{+} and C is a □_{λ}-sequence

and

V [G′] ⊧ μ = λ^{+} and C′ is a □_{λ}-sequence.

Let C = {C_{α} : α ∈ Lim(κ)}. We have C′ = {C_{α} : α ∈ Lim(μ)}. In V [G′], by Fodor’s Lemma, we find a stationary S ⊆ μ such that otp(C_{α}) for α ∈ S are all the same. Now V [G] is obtained as a generic extension of V [G′] by a < λ-closed p.o. Hence S remains stationary in μ. Hence there are α, α′ ∈ S ∩ lim(C_{μ}) with α < α′. We have C_{α} = C_{μ} ∩ α and C_{α′} = C_{μ} ∩ α′. Hence C_{α′} is a proper endextension of C_{α}. But this is impossible as otp(C_{α}) = otp(C_{α′}). (Theorem 8)

6 関数の連続性について

Lemma 9 f : ^{ω}2 → ^{ω}2 を Baire function とする（i.e. open set の逆像は常に Bairebaire-function property を持つ）．このとき， comeager な G_{δ}-set P ⊆ ^{ω}2 で f |` P が連続になるようなものが存在する．

Proof 各 s ∈ ^{ω>}2 に対し， s によって定まる基本開集合を U_{s} = {t ∈ ^{ω}2 : t ⊇ s} とあらわすことにする．仮定により，各 s ∈ ^{ω>}2 に対し，開集合 G_{s} で f^{−1}′′U_{s} △ G_{s} が meager になるようなものが存在する．各 s ∈ ^{ω>}2 に対し， meager F_{σ}-set Q_{s} を，

f^{−1}′′U_{s} △ G_{s} ⊆ Q_{s}

となるようにとる．

Q = ⋃_{s∈^{ω>}2} Q_{s}

として， P = ^{ω}2 \ Q とすると， P は comeager で，

P = ⋂_{s∈^{ω>}2} \underbrace{^{ω}2 \ Q_{s}}_{G_{δ}}

だから， P は G_{δ}-set となる． f |` P は連続である： s ∈ ^{ω>}2 とすると， P ∩ Q_{s} = ∅ だから，

f^{−1}′′U_{s} ∩ P = G_{s} ∩ P

となるからである． (Lemma 9)

Lemma 10 (1) If X ⊆ ^{ω}2 is a perfect set and C ⊆ ^{ω}2 is countable then X \ C contains perfect a perfect set.

(2) If X ⊆ ^{ω}2 is comeager then X contains a perfect set.

Proof (1): Let T ⊆ ^{ω>}2 be an ever branching tree with [T] = X. Let C = {c_{n} : n ∈ ω}. We define t_{s} ∈ T for each s ∈ ^{ω>}2 by induction on ℓ(s) as follows.

Let t_{∅} = ∅. Suppose that t_{s} ∈ T for all s ∈ ^{n≤}2 have been defined. Then, for s ∈ ^{n+1}2, t_{s} ∈ ^{ω>}2 be such that

(i) t_{s}, s ∈ ^{n+1}2 are pairewise incompatible;

(ii) t_{s} ⊇ t_{s|` n} for all s ∈ ^{n+1}2;

(iii) c_{n} and each of t_{s}, s ∈ ^{n+1}2 are incompatible.

Let T′ = {t ∈ ^{ω>}2 : t ⊆ t_{s} for some s ∈ ^{ω>}2}. Then T′ is ever branching, T′ ⊆ T and branches of T′ are all different from c_{n}, n ∈ ω. Thus X′ = [T′] is a perfect subset of X \ C.

(2): Let (N_{n})_{n∈ω} be an increasing sequence of nowhere dense subsets of of ^{ω}2 such that ⋃_{n∈ω} N_{n} = ^{ω}2 \ X. For s ∈ ^{ω>}2, let t_{s} ∈ ^{ω}2 be defined inductively as follows:

Let t_{∅} = ∅. Suppose that t_{s} ∈ ^{ω>}2 for all s ∈ ^{n≤}2 have been defined. Then, for s ∈ ^{n+1}2, let t_{s} ∈ ^{ω>}2 be such that

(i) t_{s}, s ∈ ^{n+1}2 are pairewise incompatible;

(ii) t_{s} ⊇ t_{s|` n} for all s ∈ ^{n+1}2;

(iii) [t_{s}] ∩ N_{n} = ∅ for all s ∈ ^{n+1}2.

The last condition is possible since N_{n} is nowhere dense. Now let T = {t ∈ ^{ω>}2 : t ⊆ t_{s} for some s ∈ ^{ω>}2}. Then T is ever branching and [T] ⊆ X. (Lemma 10)

次の定理の証明は， 2001 年 7 月 6 日に新幹線で名古屋から新横浜へ移動中に思いついたもの：

Theorem 11 ((Sierpiński, Zygmund [5])) There is an f : ℝ → ℝ such that, for any sierpinski-zygmund C ∈ [ℝ]^{2^{ℵ_{0}}} , f |` C is not continuous.

Proof Let χ be large enough and let M_{α}, α < 2^{ω} be an increasing sequence of elementary submodels of H(χ), such that | M_{α} | < 2^{ℵ_{0}} and ℝ ⊆ ⋃_{α<2^{ω}} M_{α}. Let x_{β}, β < 2^{ω} be an enumeration of elements of ℝ and

m(x_{β}) = min{α < 2^{ω} : x_{β} ∈ M_{α}}

for each β < 2^{ω}.

Let y_{α} ∈ ℝ and γ(α) < 2^{ω} for α < 2^{ω} be defined inductively such that

(1) γ(α) = sup({m(x_{β}), γ(β) : β < α} ∪ {m(x_{α})}) + 1.

(2) m(y_{α}) > γ(α).

We claim that the mapping f : ℝ → ℝ; x_{α} ↦ y_{α} is as desired: Suppose for contradition that for some C ∈ [ℝ]^{2^{ω}}, f |` C is continuous. Let D ⊆ C be countable and dense in C. Then there is an α < 2^{ω} such that f |` D ∈ M_{α}. Let α^{∗} < 2^{ω} be such that α < α^{∗} and x_{α^{∗}} ∈ C. As f |` C is continuous y_{α^{∗}} = f(x_{α^{∗}}) can be calculated from f |` D and x_{α^{∗}}. Hence we have y_{α^{∗}} ∈ M_{α^{∗}}. But this is a contradiction to (2). (Theorem 11)

Corollary 12 (CH) There is an f : ℝ → ℝ such that for any uncountable A ⊆ ℝ, f |` A is not continuous.

Theorem 11 の証明と同様の議論により，次が示せる：

Theorem 13 (S. Shelah, [3]) P = Fn(2^{ℵ_{0}}, 2) とする．このとき，

∥–_{P} “ f : ℝ → ℝ で，任意の D ∈ [ℝ]^{ℵ_{1}} に対し f |` D が連続とならないものが存在する”.

f : ℝ → ℝ が（ℝ^{2} の部分集合として） analytic (i.e. Σ_{1}^{1}) なら， f は Baire function となるから（すべての analytic set は Baire property を持つことに注意）， Lemma 9 により， comeager な D ⊆ ℝ で f |` D が連続になるようなものがとれる．この命題は以下のような， “continuous almost uniformization” の存在定理の形に拡張することができる． Theorem 14 の証明は Sonja Thiele の Diplomarbeit [6] でのものである．

Theorem 14 (Velickovic, [7]) A ⊆ (^{ω}2)^{2} を analytic とする．このとき， C ⊆ dom(A) =

                                                                                                                        analytic

π_{0}(A) と^{1} ，連続な f : C → ^{ω}2 で， dom(A) \ C は meager かつ f ⊆ A となるものが存在する．

Theorem 14 は，そこでの “analytic” を “closed” に弱めて得られる次の補題から証明できる：

Lemma 15 R ⊆ ^{ω}2 ×^{ω}ω をとする．このとき， C ⊆ dom(R) と連続な f : C → ^{ω}ω で，

                                                                                                                        closed

dom(R) \ C は meager かつ， f ⊆ R となるものが存在する． Theorem 14 の Lemma 15 からの証明： A ⊆ ^{ω}2 ×^{ω}2 を analytic とする． analytic sets の定義（^{ω}ω の continuous image）から，連続な h : ^{ω}ω → ^{ω}2 ×^{ω}2 で h′′^{ω}ω = A となるものがとれる．

1 π_{i} は i 番目の coordinate への projection とする．

R = {⟨x, y⟩ ∈ ^{ω}2 ×^{ω}ω : π_{0} ∘ h(y) = x}

とする． R は連続関数 π_{0} ∘h のグラフを反転させたものだから， closed である． dom(R) = dom(A) となる．

Lemma 15 をこの R に適用して， C ⊆ dom(A) と連続関数 g : C → ^{ω}ω で， dom(A)\C は meager かつ g ⊆ R となるものがとれる．

f : C → ^{ω}2; x ↦ π_{1} ∘ h ∘ g(x)

とする．このとき， f は連続となるが， f ⊆ A である: ⟨x, y⟩ ∈ f とすると， x ∈ C ⊆ dom(A) で， y = π_{1} ∘ h ∘ g(x) となる． g ⊆ R だったから， ⟨x, g(x)⟩ ∈ R である．したがって， R の定義から， π_{0}(h(g(x))) = x となる．したがって，

⟨x, y⟩ = ⟨π_{0}(h(g(x))), π_{1}(h(g(x)))⟩ = h(g(x)) ∈ A

となる（最後の関係は h′′^{ω}ω = A による）． (Theorem 14)

Lemma 15 の証明では次の自明な Fact が用いられることになる：

Fact 16 U を Y ⊆ ^{ω}2 の可算な covering で U の各元は Baire property を持つものとする^{2} ．このとき，任意の k > 0 に対し， D ⊆ Y と pairwise disjoint な basic clopen sets の族 O で，

(0) Y \ D は meager;

(1) 各 O ∈ O の直径は\frac{1}{2^{k}} ;

(2) ∀O ∈ O∃U ∈ U ∅ ≠ O ∩ D ⊆ U ∩ D （つまり， O は U の D 上での refinement になっている） ;

(3) D ⊆ ⋃ O を満たすものが存在する．

Lemma 15 の証明．^{ω}2 の open sets の族の列 ⟨O_{n}⟩_{n∈ω}, ^{ω}ω の open sets の族の列 ⟨V_{n}⟩_{n∈ω}, ω2 の dense G_{δ}-subsets の列 ⟨D_{n}⟩_{n∈ω} および関数列 g_{n} : D_{n} → ^{ω}ω, n ∈ ω \ {0}) を以下のようにして定義する（C = ⋂_{n∈ω} D_{n} と f = lim_{n→∞} g_{n} が求めるようなものになるようにしたい）：

(0) D_{0} = dom(R) ;

(1) D_{n} がすでに定義されたとき， V_{n} を^{ω}ω の basic clopen sets で直径が ≤ \frac{1}{2^{n}} となるようなものによる covering とする（特に V_{n} は可算である）．また n > 0 のときには， V − n は V_{n−1} の refinement になっているものとする．

U_{n} = {π_{0}′′R ∩ (^{ω}2 × V) : V ∈ V_{n}} \ {∅}

2 U ⊆ X が Baire property を持つとは，ある開集合 O ⊆ X と meager set M ⊆ X で， U = G△M となるものがとれること．

とすると， R と V ∈ V_{n} は closed だから， U_{n} の各元は analytic となる．とくに U_{n} の元はすべて Baire property を持つ．したがって， Fact 16 により， D_{n+1} ⊆ D_{n} と pairwise disjoint な open sets の族 O_{n} で，

(2) D_{n} \ D_{n+1} は meager;

(3) 各 O ∈ O_{n} の直径は\frac{1}{2^{n}} ;

(4) n > 0 なら O_{n} は O_{n−1} の refinement;

(5) ∀O ∈ O_{n} ∃U ∈ U_{n} [ ∅ ≠ O ∩ D_{n+1} ⊆ U ∩ D_{n+1} ] ;

(6) D_{n+1} ⊆ ⋃ O_{n}

となるものがとれる． (5) により，各 O ∈ O_{n} に対し， U_{O} ∈ U_{n} で， O∩D_{n+1} ⊆ U_{O} ∩D_{n+1} となるものがとれるから， U_{n} の定義により， V_{O} ∈ V_{n} で，

O ∩ D_{n+1} ⊆ π_{0}′′(R ∩ (^{ω}2 × V_{O}))

となるものがとれる．各 O ∈ O_{n} に対し， z_{O} ∈ O ∩ D_{n+1}, x_{O} ∈ V_{O} で ⟨z_{O}, x_{O}⟩ ∈ R となるものを選び，

g_{n+1} = ⋃{(O ∩ D_{n+1}) × {x_{O}} : O ∈ O_{n}}

とおく． g_{n+1} : D_{n+1} → ^{ω}ω で， g_{n+1} は連続である．

C = ⋂_{n∈ω} D_{n} とおけば， (0) により C ⊆ dom(R) で (2) により dom(R) \ C は meager となる．

(1) と g_{n}, n ∈ ω \ {0} の定義により， g_{n}|` C, n ∈ ω \ {0} は各点収束する． f = lim_{n→∞} g_{n}|` C とすると f は連続であることも同様に示せる．

f ⊆ R である: z ∈ dom(f) とする．各 n ∈ ω に対し， O_{n} ∈ O_{n} で z ∈ O_{n} となるものをとると， ⟨z_{O_{n}}, x_{O_{n}}⟩, n ∈ ω は ⟨z, f(z)⟩ に収束する R の元の列である．ところが R は closed だったから ⟨z, f(z)⟩ ∈ R がわかる． (Lemma 15)

Corollary 17 non(meager) > ℵ_{1} を仮定する． A ⊆ ℝ^{2} を Σ_{2}^{1} で dom(A) は non-meager とするとき， non-meager な D ⊆ ℝ と連続な g : D → ℝ で， g ⊆ A となるものが存在する．

Proof Shoenfield の定理（[Kanamori-book] の定理 13.14 — 13.13.(f) も参照）により，ボレル集合の族 ⟨A_{α}⟩_{α<ω_{1}} で， A = ⋃_{α<ω_{1}} A_{α} となるものがとれる．

⋃_{α<ω_{1}} dom(A_{α}) = dom(A) となるから， non(meager) > ℵ_{1} により， α^{∗} < ω_{1} で， dom(A_{α^{∗}}) が non-meager になるようなものがとれる． A_{α^{∗}} は Borel だから，これに Theorem 14 を適用して， D ⊆ dom(A_{α^{∗}}), と連続な f : D → ℝ で， dom(A_{α^{∗}}) \ D は meager で f ⊆ A となるようなものが求まる．このとき D は non-meager である． (Corollary 17)

V = L のもとでは， Theorem 11 での f を Σ_{2}^{1} となるように構成できるので， Corollary 17 は non(meager) > ℵ_{1} の条件なしでは一般には成り立たないことがわかる．

X ⊆ ^{ω}2 が κ-Souslin とは，ある木 T ⊆ ⋃_{n∈ω} ^{n}2 ×^{n}κ で， X = p[T] = {x ∈ ^{ω}2 : ∃y ∈ κ2 {(x × y)|` n : n ∈ ω} ⊆ T } となるものが存在すること^{3} ．

位相空間 X に対し， OCAperfect_{κ}(X) を次の命題とする：

3 (x × y)|` n は，ここでは， {x|` m × y|` m : m < n} を表す．

OCAperfect_{κ}(X) すべての open partition [X]^{2} = K_{0} ˙∪ K_{1} に対し，次のどちらかが成 り立つ： (0) X の perfect な部分集合 Y で上の partition に関して 0- homogeneous となるものが存在する． (1) X の 1-homogeneous な部分集合の族 ⟨Y_{α} : α < κ⟩ で X = ⋃_{α<κ} Y_{α} となるものが存在する（このときには， X は κ-1- homogeneous であるということにする）．

ただし，分割 [X]^{2} = K_{0} ˙∪ K_{1} が open partition とは， K_{0} を X^{2} の symmetric subset と同一視したとき， K_{0} が X^{2} の subset として open になっていることを言う．位相空間の族 S に対し， OCAperfect_{κ}(S) を，すべての X ∈ S に対し， OCAperfect_{κ}(X) が成り立つという命題とし， OCAperfect_{κ} をすべての second countable metric space X に対し， OCAperfect_{κ}(X) が成り立つこととする． κ < 2^{ℵ_{0}} なら， OCAperfect_{κ} から ℝ のすべての部分集合は perfect set property を持つことが帰結できるから， OCAperfect_{κ} は ZFC と矛盾する．一方 OCAperfect_{ℵ_{0}} は ZF + DC + AD から導かれる．

Theorem 18 (Qi Feng, [2]) X ⊆ ^{ω}2 が κ-Souslin なら， OCAperfect_{κ}(X) が成り立つ． qifeng

Proof 木 T ⊆ ⋃_{n∈ω} ^{n}2 × ^{n}κ が X = p[T] を満たすとする． [X]^{2} = K_{0} ˙∪ K_{1} を open partition で， X はこの partition に関して， κ-1-homogeneous でないとする．このとき X の perfect subset で 0-homogeneous になるものが存在することを示す．

T′ = {⟨s, t⟩ ∈ ⋃_{n∈ω} ^{n}2 ×^{n}κ : p[T_{⟨s,t⟩}] は κ-1-homogeneous でない}

とする．ただし T_{⟨s,t⟩} は ⟨s, t⟩ と compatible な T の元の全体からなる T の subtree である． p[T_{⟨s,t⟩}] は X = p[T] の subspace になる． p[T_{⟨s,t⟩}] が κ-1-homogeneous でないとは，分割 [X]^{2} = K_{0} ˙∪ K_{1} に関する p[T_{⟨s,t⟩}] の 1-homogeneous subsets を κ 個とってきてそれらで， p[T_{⟨s,t⟩}] が cover できないことである． T′ は T の subtree となる． ⟨s, t⟩ ∈ T′ に対して， T′_{⟨s,t⟩} も T の subtree となるから， p[T′_{⟨s,t⟩}] ⊆ X であることに注意．

Claim 18.1 すべての ⟨s, t⟩ ∈ T′ に対し， p[T′_{⟨s,t⟩}] は κ-1-homogeneous でない． claim1

⊢ ある ⟨s_{0}, t_{0}⟩ ∈ T′ に対し， p[T′_{⟨s_{0},t_{0}⟩}] が κ-1-homogeneous だったとする．つまり p[T′_{⟨s_{0},t_{0}⟩}] は κ 個の 1-homogeneous sets の和集合となっている．すべての ⟨s, t⟩ ∈ T_{⟨s_{0},t_{0}⟩}\T′ に対し， T′ の定義から， T_{⟨s,t⟩} は κ 個の 1-homogeneous subsets の和集合になる．ところが，

p[T_{⟨s_{0},t_{0}⟩}] = p[T′_{⟨s_{0},t_{0}⟩}] ∪ ⋃ {p[T_{⟨s,t⟩}] : ⟨s, t⟩ ∈ T_{⟨s_{0},t_{0}⟩} \ T′}

だから， T_{⟨s_{0},t_{0}⟩} は κ-1-homogeneous となってしまう．これは ⟨s_{0}, t_{0}⟩ ∈ T′ に矛盾である．

⊣ (Claim 18.1)

Claim 18.2 すべての ⟨s, t⟩ ∈ T′ に対し， ⟨s_{0}, t_{0}⟩, ⟨s_{1}, t_{1}⟩ ∈ T′ で， (i) ⟨s, t⟩ ≤ ⟨s_{0}, t_{0}⟩, ⟨s_{1}, t_{1}⟩; (ii) ⟨s_{0}, t_{0}⟩ と ⟨s_{1}, t_{1}⟩ は incompatible; (iii) すべての f ∈ p[T_{⟨s_{0},t_{0}⟩}] と g ∈ p[T_{⟨s_{1},t_{1}⟩}] に対し， {f, g} ∈ K_{0}

を満たすものが存在する． ⊢ Claim 18.1 により， f_{0}, g_{0} ∈ p[T′_{⟨s,t⟩}] で {f_{0}, g_{0}} ∈ K_{0} となるものがとれる． u_{0}, v_{0} ∈ ^{ω}κ を， ⟨f_{0}, u_{0}⟩, ⟨g_{0}, v_{0}⟩ ∈ T′_{⟨s,t⟩} となるものとする． K_{0} は open だから， n^{∗} ≥ ℓ(⟨s, t⟩) で，

{{f, g} ∈ [X]^{2} : f ∈ [f_{0}|` n^{∗}], g ∈ [g_{0}|` n^{∗}]} ⊆ K_{0}

となるものがとれる． ⟨s_{0}, t_{0}⟩ = ⟨f_{0}|` n^{∗}, u_{0}|` n^{∗}⟩, ⟨s_{1}, t_{1}⟩ = ⟨g_{0}|` n^{∗}, v_{0}|` n^{∗}⟩ とすれば，これらは求めるようなものになっている． ⊣ (Claim 18.2)

p ∈ ^{ω>}2 に対し， ⟨s_{p}, t_{p}⟩ ∈ T′ を帰納的に次を満たすようにとる：

(0) ⟨s_{∅}, t_{∅}⟩ ∈ T′ は任意にとる ;

(1) ⟨s_{p}, t_{p}⟩ ≤ ⟨s_{p^{⌢} 0}, t_{p^{⌢} 0}⟩, ⟨s_{p^{⌢} 1}, t_{p^{⌢} 1}⟩;

(2) s_{p^{⌢} 0} と s_{p^{⌢} 1} は incompatible;

(3) すべての f ∈ p[T′_{⟨s_{p^{⌢} 0},t_{p^{⌢} 0}⟩}] と g ∈ p[T′_{⟨s_{p^{⌢} 1},t_{p^{⌢} 1}⟩}] に対し， {f, g} ∈ K_{0}.

これは Claim 18.2 により可能である． T^{∗} = {⟨s_{p}, t_{p}⟩ : p ∈ ^{ω>}2} とすると， T^{∗} は T の subtree だから， p[T^{∗}] ⊆ p[T] = X である． T^{∗∗} = {s_{p} : p ∈ ^{ω>}2} とすると， (1), により， p[T^{∗}] = [T^{∗∗}] となる． (2) により，この集合は perfect で (3) により， 0-homogeneous と

なる． (Theorem 18)

Corollary 19 (a) OCAperfect_{ℵ_{0}}(Σ_{1}^{1}) ; sigma (b) OCAperfect_{ℵ_{1}}(Σ_{2}^{1}).

Proof (a): X ⊆ ^{ω}2 が Σ_{1}^{1} であることと， X が ℵ_{0}-Souslin であることは同値である．したがって， X が Σ_{1}^{1} (i.e. analytic) なら， Theorem 18 により， OCAperfect_{ℵ_{0}}(X) となることが分る．

(b): Shoenfield の定理（前出）により，すべての Σ_{2}^{1}-集合 X は ℵ_{1}-Souslin となるから， Theorem 18 により， OCAperfect_{ℵ_{1}}(X) が成り立つ．（CH のもとでは OCAperfect_{ℵ_{1}} は trivial な命題になることに注意．） (Corollary 19)

Theorem 20 (a) f : ℝ → ℝ が（ℝ^{2} の部分集合として） analytic なら， perfect set D ⊆ ℝ で， f |` D が連続な単調関数となるようなものが存在する．

(b) (¬CH) f : ℝ → ℝ が Σ_{2}^{1} なら， perfect な D ⊆ ℝ で， f |` D が連続な単調関数となるようなものが存在する．

Proof (b) を証明する． (a) の証明は同様． f : ℝ → ℝ を Σ_{2}^{1} とすると， Shoenfield の定理により， f は ℵ_{2}-Souslin である．

F_{0} = {p ∈ [f]^{2} : p は（dom(p) 上の）増加関数 }

として， F_{1} = [f]^{2} \ F_{0} とする．このとき [f]^{2} = F_{0} ˙∪ F_{1} は open partition だから， Corollary 19, (b) により， perfect な 0-homogeneous set X ⊆ f が存在するか，または， f = ⋃_{α<ω_{1}} X_{α} となるような 1-homogeneous sets X_{α}, α < ω_{1} が存在する — このときには，一般性を失うことなく，各 X_{α} は closed set としてよい．

前者の場合には， F_{0} の定義から， X は単調増加関数となる．

後者の場合には， ¬CH により， α^{∗} < ω_{1} で X_{α} が uncountable になるものがとれる． X_{α^{∗}} は closed だから， perfect set X を含む．この場合には， X は単調減少関数である．いずれにしても， f の perfect な部分集合 X で，単調関数となるようなものが存在することがわかったが， X の不連続点は高々可算だから， Lemma 10, (2) により，それらの点をのぞいた集合の部分集合 Z で perfect set となるものが存在する． D = dom(Z) とすれば，これが求めるようなものになる． (Theorem 20)

Theorem 21 (a) PD を仮定すると，すべての preojective な f : ℝ → ℝ に対し， perfect な D ⊆ ℝ で f |` D が連続な単調関数となるようなものが存在する．

(b) projective absoluteness for c.c.c. posets を仮定する．このときすべての projective な f : ℝ → ℝ に対し， comeager な D ⊆ ℝ で， f |` D が連続になるようなものが存在する．

Proof (a): PD から OCAprojective_{ℵ_{0}}(projective) が結論できる ([2]) から，あとは，前の定理と同様に示せる．

(b): projective absoluteness for c.c.c. posets が成り立つなら，すべての projective set は Baire property を持つ．したがって，このときには，すべての projective な f : ℝ → ℝ は Baire function となる．したがって， Lemma 9 によって， comeager な D ⊆ ℝ で， f |` D が連続になるようなものがとれる． (Theorem 21)

最後に Shelah の結果を引用する．

Theorem 22 (a) (S. Shelah [3]) ZFC が無矛盾なら， ZFC に “すべての関数 f : ℝ → ℝ に対し， f |` D が連続になるような， nonmeager な D ⊆ ℝ が存在する” を付加しても無矛盾である．

(b) (S. Shelah [4]) ZFC が無矛盾なら， ZFC に “すべての関数 f : ℝ → ℝ に対し， f |` D が連続になるような， non measure zero な D ⊆ ℝ が存在する” を付加しても無矛盾である．

Theorem 23 (a) (S.F. and Shelah, to appear) ZFC + “there exists a measurable cardinal” が無矛盾なら， ZFC + “2^{ℵ_{0}} は Baire type cardinal （real-valued cardinal の categorical dual） ” + “すべての関数 f : ℝ → ℝ に対し， f |` D が連続になるような， nonmeager な D ⊆ ℝ が存在する” も無矛盾である．

(b) (S.F. and S. Shelah, still a conjecture) ZFC + “there exists a measurable cardinal” が無矛盾なら， ZFC + “2^{ℵ_{0}} は real-valued cardinal” + “すべての関数 f : ℝ → ℝ に対し， f |` D が連続になるような， non measure zero な D ⊆ ℝ が存在する” も無矛盾である．

References

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[2] Q. Feng, Homogeneity for open partitions of pairs of reals, Trans. Amer. Math. Soc. 339, No.2 (1993), 659–684.

\underline{数学ノート 2000/2001} 17

[3] S. Shelah, Possibly every real function is continuous on a non–meagre set, Publications de L’Institute Mathématique - Beograd, Nouvelle Série(1995).

[4] S. Shelah, .

[5] W. Sierpiński, A. Zygmund, Sur une fonction qui est discontinue sur tout ensemble de puissance du continu, Fund. Math. 4 (1923), 316–318.

[6] S. Thiele, Diplomarbeit, Berlin (2001).

[7] B. Velickovic, OCA and automorphisms of P(ω)/fin, Top. and its Appl., 49 (1993), 1–13.