数学ノート 2000

渕野昌 (Sakaé Fuchino)

03.12.08(月)

1 Lévy-Shoenfield Absoluteness Lemma

（Jech の green book に基づくノート）

Proposition 1 (ZF) θ を well-founded model 𝔄 = ⟨A, E, R_{1}, …⟩ で成立する文とする．このとき， well-founded で countable な 𝔅 ∈ L で L ⊧ 𝔅 is countable かつ 𝔅 ⊧ θ となるものが存在する．

Proof 𝔄 ⊧ θ とする． 𝔄 は relational structure としてよい． 𝔄 に relations を適当に付加することにより， θ は ∀∃-文としてよい（Skolem’s Normal Form Theorem: θ を ∀∃-文の連立（conjunction）に分解すればよい）． θ が有限モデル ℭ を持てば， ℭ ∈ L とできるから， θ は有限モデルを持たないとしてよい． θ は

∀x_{1} ⋯ ∀x_{m}∃y_{1} ⋯ ∃y_{n}ψ(x_{1}, …, x_{m}, y_{1}, …, y_{n})

という形をしているとする．ただし ψ は quantifier free とする． L を ψ の言語とする． L で p.o. ⟨P, ≤⟩ を次のように定義する：

P = {⟨𝔅, f⟩ : 𝔅 = ⟨B, E, …⟩ は finite L-structure,
B ⊆ ω, f : B → Ord,
∀b, b′ ∈ B (b E b′ → f(b) < f(b′))}

⟨𝔅, f⟩, ⟨𝔅′, f′⟩ ∈ P として， 𝔅 = ⟨B, E, …⟩, 𝔅′ = ⟨B′, E′, …⟩ とするとき，

⟨𝔅, f⟩ <^{P} ⟨𝔅′, f′⟩ ⇔ 𝔅′ ⊆ 𝔅, f′ ⊆ f で，
すべてのx_{1}, …, x_{m} ∈ B′ に対し，y_{1}, …, y_{n} ∈ B で
𝔅 ⊧ ψ[x_{1}, …, x_{m}, y_{1}, …, y_{n}] となるものが存在する

とする． L で P = ⟨P, <^{P} ⟩ が well-founded でなければ， decreasing sequence

⟨𝔅_{0}, f_{0}⟩ >^{P} ⟨𝔅_{1}, f_{1}⟩ >^{P} ⋯

\underline{数学ノート 2000} 2

が L で存在するが^{1} ，このとき 𝔅 = ⋃_{n∈ω} 𝔅_{n} が求めるようなものになる．したがって， well-foundedness が absolute であることを思い出すと^{2} ， ⟨P, <^{P} ⟩ が V で well-founded でないことを言えば証明が完了する． V で Q ⊆ P を次のようにとる． g^{∗} : A → Ord を，すべての a, a′ ∈ A に対し， aE^{𝔄} a′ → f^{∗}(a) < f^{∗}(a′) となるようにとる． 𝔄 は well-founded だったから，このような f^{∗} は存在する．ここで，

1 L では AC が成り立っていることに注意する．

2 “すべての部分集合に対して ...” という well-foundedness の定義と，これと ZF で同値な “rank function が存在する” により well-foundedness は Δ_{1}^{ZF} であることがわかる．

Q = {⟨𝔅, f⟩ ∈ P : 𝔅 の 𝔄 への embedding g で
f = f^{∗} ∘ g となるものが存在する}

とする．このとき Q は <^{P} に関する極小元を持たないから， ⟨P, <^{P} ⟩ が non well-founded であることがわかり，したがって P は L でも non well-founded である． (Proposition 1)

Theorem 2 (Lévy- Shoenfield Absoluteness Lemma) V ⊆ W を ZF （の十分に大きな fragment ）の transitive models とする．このとき， H(ℵ_{1})^{V} の元をパラメタとして持つすべての Σ_{1}-文 φ は V ⊆ W に関し absolute である．

Proof φ を ∃xψ(x) とする．ここに ψ は Σ_{0}-formula で， a_{1},…, a_{n} ∈ H(ℵ_{1})^{V} を parameters として持つものとする． V ⊧ φ なら W ⊧ φ となることは明らか．

W ⊧ φ と仮定する．このとき， Reflection Principle により transitive な 𝔄 = ⟨A, ∈, …⟩ ∈ W で， a_{1},…, a_{n} ∈ A かつ， 𝔄 ⊧ φ となるものが存在する．したがって前の Proposition の変形により， transitive な 𝔅 = ⟨B, ∈, …⟩ ∈ V で， a_{1},…, a_{n} ∈ B かつ 𝔅 ⊧ φ となるものがとれる^{3} ． φ は Σ_{1} だから，このことから V ⊧ φ が帰結できる． (Theorem 2)

Theorem 3 (Shoenfield’s Absoluteness Theorem) すべての a ∈ ^{ω}ω に対し， Σ_{2}^{1}(a)- relation は（したがって Π_{2}^{1}(a)-relation も） ZF + DC のモデル間で absolute である．特に，任意の a ∈ ^{ω}ω と Σ_{2}^{1}(a) relation A に対し， A(b⃗) ⇔ L_{ω_{1}}[a, b⃗] ⊧ A(b⃗) が成り立つ．

Proof 後述の Proposition 6 により，この定理は Lévy- Shoenfield Absoluteness Lemma の系として得られる．以下では直接証明を与える：

Σ_{2}^{1}(a)-relation について示せば十分である． A を^{ω}ω の Σ_{2}^{1}(a)-subset とする． W を ZF + DC の inner model で a ∈ W となるものとする．このとき A^{W} = A ∩ W を示せばよい．

U を a 上 arithmetical な tree で

x ∈ A ⇔ ∃y ∈ ^{ω}ω [ U_{⟨x,y⟩} は well-founded]

となるようなものとする（Kanamori [7] Theorem 13.1 を参照）． x ∈ ^{ω}ω ∩ W に対し，

x ∈ A^{W} ⇔ ∃y ∈ ^{ω}ω ∩ M [ M ⊧ U_{⟨x,y⟩} は well-founded]

となるが， U は a 上 arithmetical だから，すべての x, y ∈ W に対し， U_{⟨x,y⟩} は W でも V でも同じものとなる．したがって， well-foundedness の absoluteness から，

x ∈ A^{W} ⇔ ∃y ∈ ^{ω}ω ∩ M [ U_{⟨x,y⟩} は well-founded]

3 trcl(a_{1}),…, trcl(a_{n}) ⊆ B′ となるような well-founded な 𝔅′ を上の Proposition でと同様なやりかたで構成できる（P の ordering は， trcl(a_{1}),…, のすべての元が gradually にとりこまれるように定義すればよい）．これの transitive collapse を 𝔅 としてとればよい．

となる．このことから， A^{W} ⊆ A ∩ W がわかるから，あとは A^{W} ⊇ A ∩ W を示せばよい．

Σ_{2}^{1}(a) sets は ω_{1}-Suslin だから（Kanamori [7] の Theorem 13.14）， ω × ω_{1} 上の tree T ∈ L[a] ⊆ W で

x ∈ A ⇔ T_{x} は well-founded でない

となるものがとれる．したがって， x ∈ A ∩ W なら， T_{x} は well-founded でない，したがって， well-foundedness の absoluteness から，

W ⊧ T_{x} は well-founded でない

が成り立つ．ここで T が A の ω_{1}-Suslinness を示す例となっていることは W でも言えるから， W ⊧ x ∈ A つまり， x ∈ A^{W} となる．

b⃗ ∈ ^{ω}ω に対し，上の議論は， W = L_{ω_{1}}[a, b⃗] でも同様に行なえる．この場合 T は一般には L_{ω_{1}}[a, b⃗] の元ではなく， L_{ω_{1}}[a, b⃗] の definable な subset でしかないが，このことは上の議論には影響を与えない． (Theorem 3)

2 Σ_{n}^{1} 集合の表現

以下は ZF + DC で議論する． DC は例えば Claim 4.1 で必要になる．

A ∈ Σ_{n}^{1} とは， arithmetic な R (i.e. quantifiers は number quantifiers のみ) があって，すべての w ∈ (^{ω}ω)^{k} に対し^{4} ，

(∗) A(w) ⇔ A^{2} ⊧ ∃^{1}x_{1}∀^{1}x_{2} ⋯ Qx_{n} R(w, x_{1}, …, x_{n})

とできることだった^{5} ．

Lemma 4 （Kanamori [7] の演習 12.4 の記述の改良） A を Σ_{n}^{1} とするとき，ある Δ_{0}^{0}- formula R̂ (つまり， R̂ 現れる quantifiers は restricted number quantifiers のみ) によりすべての w に対し，

A(w) ⇔ A^{2} ⊧ ∃^{1}x_{1}∀^{1}x_{2} ⋯ Qx_{n} Q′m R̂(m, w|` m, x_{1}|` m, …, x_{n}|` m)

とできる^{6} . ここに ∃^{1}x_{1}∀^{1}x_{2} ⋯ Qx_{n} が second order quantifiers のブロックで， Q′ は n が偶数のときには ∃^{0}, n が奇数のときには ∀^{0} である．

Proof まず， n が偶数であるときについて証明する．このときには， (∗) での Q は ∀^{1} である．次に留意する．

Claim 4.1 任意の formula S と w ∈ (^{ω}ω)^{k} に対し， claim4.1 (a) A^{2} ⊧ ∀^{0}m∃^{1}x S(m, w, x) ⇔ A^{2} ⊧ ∃^{1}x∀^{0}m S(m, w, (x)_{m}).

(b) A^{2} ⊧ ∃^{0}m∀^{1}x S(m, w, x) ⇔ A^{2} ⊧ ∀^{1}x∃^{0}m S(m, w, (x)_{m})

となることに留意する^{7} . （(b) は (a) の contraposition として得られる）． (∗) の R に現れる ∀^{0}m の形の量化子のひとつひとつを関数の量化子に書きかえて上の同値式を用いてこれを左側にたぐりよせ，関数の量化子のブロックの右はしの ∀^{1}x_{n} に吸収させる．ここで R の制限されてない数の量化子のブロックの内側にある Δ_{0}^{0} 論理式に対応する Δ_{0}^{0} 論理式 R_{0} により，すべての w ∈ (^{ω}ω)^{k} に対し，

(1) A(w) ⇔ A^{2} ⊧ ∃^{1}x_{1}∀^{1}x_{2} ⋯ ∀^{1}x_{n} ∀^{0}p R_{0}(p, w, x_{1}, …, x_{n})

とできる． R_{0} に現れる量化子は，制限された数の量化子のみだから， R_{0}(p, w, x_{1}, …, x_{n}) の真偽は， p と十分に大きな q ∈ ω に対する w|` q, x_{1}|` q,…, x_{n}|` q のみに依存して決まる．したがって，ある Δ_{0}^{0}-formula R_{1} により，

(2) A^{2} ⊧ ∀^{0}p R_{0}(p, w, x_{1}, …, x_{n}) ⇔ A^{2} ⊧ ∀^{0}p∃^{0}q R_{1}(p, w|` q, x_{1}|` q, …, x_{n}|` q)

4 k は A の変数の数に対応するように適当にとる．以下同様．

5 ここに， A^{2} は [7] でのような二階の算術の構造とする．二階の量化子は， “∃^{1}x”, “∀^{1}x” などとあらわし，一階の量化子は “∃^{0}n”, “∀^{0}n” などとあらわす．だだし，後で，これらを “∃x ∈ ^{ω}ω”, “∀x ∈ ^{ω}ω”, “∃n ∈ ω”, “∀n ∈ ω” とあらわしているところもある．

6 x|` n は ⟨x(0), …, x(n − 1)⟩ （をコードする自然数）をあらわすものとする． “m = x|` n” は Δ_{0}^{0} である．

7 (x)_{m} は n に対し x(⟨m, n⟩) を対応させる関数として導入されているものとする．

とできる．これを (1) に代入して，量化子 ∀^{1}x_{n} ∀^{0}p を１つにまとめると A の求めている形の表現が得られる．

n が奇数のときには， A(w) は

∃^{1}x_{1}∀^{1}x_{2} ⋯ ∃^{1}x_{n} R(w, x_{1}, …, x_{n})

と同値になるが，これは，

¬ \underbrace{∃^{1}x_{0}∀^{1}x_{1}∃^{1}x_{2} ⋯ ∀^{1}x_{n}¬R(w, x_{1}, …, x_{n})}_{(∗∗)}

と同値である．ただし x_{0} は dummy variable. したがって上の式の (∗∗) の部分に n が偶数の場合の結果を適用すると， A の求めているような表現が得られる． (Lemma 4)

k ≥ 0 として， φ を Σ_{k}-formula (in L_{ZF}) とする． m_{1},…, m_{n} ∈ ω, r, s, f_{1}, …, f_{n} ∈ ^{ω}ω に対し，次の命題を考える：

Φ^{1}(r) : “r codes an extensional well-founded binary relation E_{r} on ω”

Φ_{n}^{1}(r, f_{1}, …, f_{n}) : “r codes an extensional well-founded binary relation E_{r} and f_{1},…, f_{n} ∈ X_{r} for the transitive collapse X_{r} of ⟨ω, E_{r}⟩”

Φ^{2}(r, s, f) : “Φ^{1}(r) ∧ Φ^{1}(s) ∧ X_{r} ⊆ X_{s} for the transitive collapses X_{r} and X_{s} of ⟨ω, E_{r}⟩ and ⟨ω, E_{s}⟩ ∧ f : ⟨ω, E_{r}⟩ → ⟨ω, E_{s}⟩ corresponds to the embedding X_{r} ⊆ X_{s}”

Φ_{φ}^{3}(r, m_{1}, …, m_{n}) : “Φ^{1}(r) ∧ ⟨ω, E_{r}⟩ ⊧ φ[m_{1}, …, m_{n}]”

Φ_{φ}^{4}(r, f_{1}, …, f_{n}) : “Φ_{n}^{1}(r, f_{1}, …, f_{n}) ∧ X_{r} ⊧ φ[f_{1}, …, f_{n}] for the transitive collapse X_{r} of ⟨ω, E_{r}⟩”

Φ_{φ}(r) : “Φ^{1}(r) ∧ φ is absolute between X_{r} and H(ℵ_{1})”

Lemma 5 (1) Φ^{1}(r), Φ_{n}^{1}(r, f_{1}, …, f_{n}), Φ^{2}(r, s), Φ_{φ}^{3}(r, m_{1}, …, m_{n}) は Π_{1}^{1} である. formulas (2) k ≥ 0 に対し， Φ_{φ}(r) は Π_{k+1}^{1} である．

Proof (1): 以下に留意すれば明らか：

(i) “r codes a well founded relation” は

∀f ∈ ^{ω}ω (“f does not code a decreasing sequence with respect to E_{r}”)

と表現できるから Π_{1}^{1} である． (ii) f ∈ X_{r} は Σ_{0}^{1}-formula

∃n ∀m, k ∈ ω (f(m) = k ⇔ ∃ℓ ∈ ω(ℓ E_{r} n) ∧ “ℓ corresponds to ⟨m, k⟩”))

で表現できる．

(iii) “f corresponds to the embedding X_{r} ⊆ X_{s}” は

∀m, n ∈ ω (mE_{r}n ↔ f(m)E_{s}f(n)) ∧ ∀m′, n ∈ ω (m′E_{s}f(n) → ∃m ∈ ω (f(m) = m′))

とあらわせる． (iv) X_{r} ⊧ φ[f_{1}, …, f_{n}] は

∃m_{1}, …, m_{n} ∈ ω (“ m_{1}, …, m_{n} correspond to f_{1}, …, f_{n} in ⟨X_{r}, ∈⟩”
∧ ⟨ω, E_{r}⟩ ⊧ φ[m_{1}, …, m_{n}])

と表現できる．ここに “⟨ω, E_{r}⟩ ⊧ φ[m_{1}, …, m_{n}]” は quantifiers が ω に bound された formula として書ける．

(2): k に関する帰納法で示す． Σ_{0}-formulas の absoluteness から， φ が Σ_{0} なら， Φ_{φ}^{3}(r) ↔ Φ^{1}(r) である．したがって， (1) により， k = 0 のときには (2) の命題は成り立つ．

次に， k ≥ 0 に対し， (2) の命題が成り立っていると仮定して， k+1 に対してもこの命題が成り立つことを示す． φ が Σ_{k+1}-formula で，ある Π_{k}-formula ψ に対し， ∃xψ(x, x_{1}, …, x_{n}) という形をしているとする．このとき， downward Löwenheim-Skolem Theorem により， Φ_{φ}(r) は

Φ_{¬ψ}(r) ∧
∀f, s ∈ ^{ω}ω ( Φ_{¬ψ}(s) ∧ Φ^{2}(r, s, f) →
∀m_{1}, …, m_{n} ∈ ω ( ∃m ∈ ω Φ_{ψ}^{3}(s, m, f(m_{1}), …, f(m_{n})) →
∃m′ ∈ ω Φ_{ψ}^{3}(r, m′, m_{1}, …, m_{n})))

とあらわせるが，帰納法の仮定から， Φ_{¬ψ(s)} は Π_{k+1}^{1} だから， Lemma 5 により， Φ_{φ}(r) は Π_{k+2}^{1} であることがわかる． (Lemma 5)

Proposition 6 X ⊆ (^{ω}ω)^{n} で ā ∈ (^{ω}ω)^{m} とする．このとき， k ≥ 1 に対し，次は同値で

                                                                                                                        sigma-k-vs-sigma-1-k+1

ある： (a) Σ_{k}-formula φ で，

X = {x̄ ∈ (^{ω}ω)^{n} : H(ℵ_{1}) ⊧ φ[x̄, ā]}

となるものが存在する． (b) Σ_{k+1}^{1}-formula ψ で，

X = {x̄ ∈ (^{ω}ω)^{n} : A^{2} ⊧ ψ[x̄, ā]}

となるものが存在する^{8} ． Proof “⇒”: 前の Lemma での notation を用いる． φ を (a) でのようにとる． φ は Π_{k−1} formula φ′ により， ∃xφ′ とあらわされているとする．

8 A^{2} で [7] でのような二階の数論のモデルを表す．

このとき， A^{2} の言語の formula ψ を

∃r ∈ ^{ω}ω (Φ_{¬φ′}(r) ∧ ∃x ∈ ^{ω}ω(¬Φ_{¬φ′}^{4}(r, x, x̄, ā)))

とすると Lemma 5 により ψ は Σ_{k+1}^{1} となり， downward Löwenheim-Skolem Theorem により， X = {x̄ ∈ (^{ω}ω)^{n} : A^{2} ⊧ ψ[x̄, ā]} である．

“⇐”: k に関する帰納法で示す． k = 1 のときには， ā 上 recursive （i.e. Σ_{1}^{0}(ā)∩Π_{1}^{0}(ā)）な木 T で，

x̄ ∈ X ⇔ ∃y ∈ ^{ω}ω (T_{⟨x̄,y⟩} is well founded )

となるものがある． T の ā 上の arithmetic な定義を与える formula を η として，パラメタ ā を持つ Σ_{1}-formula φ を

∃T ∃y∃r ( “ T is defined by η with parameters ā ”
∧ y ∈ ^{ω}ω
∧ “ r : T_{⟨x̄,y⟩} → On witnesses the well-foundedness of T_{⟨x̄,y⟩} ”)

とすれば，この φ が求めるようなものである． induction step は “∃x ∈ ^{ω}ω” が H(ℵ_{1}) で， “∃x (x : ω → ω ∧ …)” として L_{ZF} で表現可能なことから直ちに導ける． (Proposition 6)

3 random reals

G ⊆ [ω]^{ℵ_{0}} が Lusin gap であるとは， G の元は pairwise almost disjoint で，すべての x ∈ [ω]^{ℵ_{0}} に対し，常に {y ∈ G : y ⊆^{∗} x} か {y ∈ G : y ⊆^{∗} ω \ x} のどちらかは G より小さい濃度を持つこと． G が Lusin gap で | G | = κ のとき G は κ-Lusin gap であるという．

Theorem 7 (K. Kunen [?]) λ を正則基数として， B を random reals を λ 個付け加え

                                                                                                                        random-Lusin

る cBa とする．このとき，すべての非可算な κ ≤ λ に対し， ∥–_{B^{+}} “ κ-Lusin gap が存在する ” が成り立つ．

この定理の証明には次の補題が用いられる：

Lemma 8 μ を cBa B 上の finitely additive measure とする． borel-cantelli

(a) (Borel-Cantelli の補題) a_{n}, n ∈ ω を B の独立な事象^{9} とするとき， ∑_{n∈ω} μ(a_{n}) = ∞ なら， ∑_{n∈ω} a_{n} = 1 となる．

(b) μ(∑_{n∈ω\m} b_{n}), m ∈ ω が 0 に収束するとき， μ(∑_{n∈ω} b_{n}) ≤ ∑_{n∈ω} μ(b_{n}) が成り立つ．

Proof (a): 不等式

1 − x ≤ e^{−x} for x ∈ ℝ^{+}

に留意すると，任意の ε > 0 に対し，十分に大きな n をとると，

1 − ε ≤ 1 − e^{− ∑_{l<n} μ(a_{l})}
≤ 1 − ∏_{l<n}(1 − μ(a_{l}))
= 1 − ∏_{l<n} μ(−a_{l}) = 1 − μ(∏_{l<n} −a_{l})
= μ(1 · −(∏_{l<n} −a_{l})) = μ(∑_{l<n} a_{l}) ≤ μ(∑_{l∈ω} a_{l})

となる．したがって， μ(∑_{l∈ω} a_{l}) = 1 となるから， ∑_{l∈ω} a_{l} = 1_{B} である．

(b): 任意の ε > 0 に対し，十分に大きな m ∈ ω をとると， μ(∑_{n∈ω\m} b_{n}) < ε できるが，このとき，

\begin{aligned}μ(∑_{n∈ω} b_{n}) & ≤ μ(b_{0}) + ⋯ + μ(b_{m}) + μ(∑_{n∈ω\m} b_{n}) \\ & ≤ ∑_{n∈ω} μ(b_{n}) + ε \end{aligned}

となる．したがって， μ(∑_{n∈ω} b_{n}) ≤ ∑_{n∈ω} μ(b_{n}) である． (Lemma 8)

Proof of Theorem 7 : μ を B の measure とする． ε_{n} ∈ [0, 1], n ∈ ω を ∑_{n∈ω} ε_{n} = ∞ だが， ∑_{n∈ω}(ε_{n})^{2} < ∞ となるものとする． a_{n}^{α} ∈ B^{+}, n ∈ ω, α < κ を互いに独立な事象で， μ(a_{n}^{α}) = ε_{n} となるものとする． ȧ_{α}, α < κ を， ω の部分集合の B^{+}-name で，すべての n ∈ ω に対し， ∥n ∈ ȧ_{α}∥ = a_{n}^{α} となるものとする．

Ġ を {ȧ_{α}^{G} : α < κ} の B-name とすると， ∥–_{B^{+}} “ Ġ は κ-Lusin gap ” となることを示す．これは以下の Claims に証明される： Claim 8.1 すべての α < κ に対し， ∥–_{B^{+}} “ | ȧ_{α} | = ℵ_{0} ” である．

9 a_{n} ∈ B, n ∈ I が独立な事象とは，すべての k ∈ ω, i_{0},…, i_{k−1} ∈ {−1, 1}, および互いに異なる j_{0},…, j_{k−1} ∈ I に対し， μ(∏_{l<k} a_{j_{l}}^{i_{l}}) = ∏_{l<k} μ(a_{j_{l}}^{i_{l}}) が成り立つこと．

⊢ b ∈ B^{+} とする． m ∈ ω を任意にとると， Lemma 8 により， ∑_{n∈ω\m} a_{n}^{α} = 1_{B} となるから， b · (∑_{n∈ω\m} a_{n}^{α}) = b ≠ 0_{B} である．したがって， b ∥–_{B^{+}} “ (∃n > m) [ n ∈ ȧ_{α}] ” がわかる． ⊣ (Claim 8.1)

Claim 8.2 ∥–_{B^{+}} “ {ȧ_{α} : α < κ} は almost pairwise disjoint ”.

⊢ α, β < κ, α ≠ β とする．このとき， Σ_{n∈ω}(ε)^{2} < ∞ により，任意の b ∈ B^{+} に対し，十分に大きな m ∈ ω をとると，

μ( ∑_{n∈ω\m} a_{n}^{α} · a_{n}^{β}) ≤ ∑_{n∈ω\m} μ(a_{n}^{α} · a_{n}^{β}) = ∑_{n∈ω\m} μ(a_{n}^{α}) · μ(a_{n}^{β}) < Σ_{n∈ω\m}ε^{2} < μ(b)

とできる．このとき，

b′ = b · − ( ∑_{n∈ω\m} a_{n}^{α} · a_{n}^{β})

は non-zero だが， b′ は “ȧ_{α} ∩ ȧ_{β} ⊆ m” を force する． ⊣ (Claim 8.2)

Claim 8.3 G を B 上の generic set とする．このとき，すべての [ω]^{ℵ_{0}} の元の B-name ḃ に対し，

V [G] ⊧ (ȧ_{α})^{G} ⊈^{∗} ḃ^{G} for all but countably may α < κ

または，

V [G] ⊧ (ȧ_{α})^{G} ⊈^{∗} ω \ ḃ^{G} for all but countably may α < κ

のどちらかが成り立つ．

⊢ まず ḃ^{G} ∈ V の場合を考える．このときには， b ∈ [ω]^{ℵ_{0}} と p ∈ G で， p ∥–_{B^{+}} “ ḃ = b ” となるものが存在する．仮定から， ∑_{n∈b} ε_{n} か ∑_{n∈ω\b} ε_{n} のどちらかは ∞ となる．

∑_{n∈b} ε_{n} = ∞ の場合には，任意の m ∈ ω に対し， ∑_{n∈b\m} ε_{n} = ∞ となるから， Lemma 8(a) により， ∑_{n∈b\m} a_{n}^{α} = 1 となる．したがって，

p ∥–_{B^{+}} “ | b ∩ ȧ_{α} | = ℵ_{0} ”

がすべの α < κ に対し成り立つ．したがって p ∥–_{B^{+}} “ ȧ_{α} ⊈^{∗} ω \ ḃ ” である．

∑_{n∈ω\b} ε_{n} = ∞ の場合には同様に， p ∥–_{B^{+}} “ ȧ_{α} ⊈^{∗} ḃ ” がすべての α < κ に対し成り立つことが示せる．

一般の場合は， ḃ^{G} を含むような適当な中間モデルを ground model と思いなおすことで，上の場合に帰着できる（Borel-Cantelli の補題は finitely additive measure で成り立つから，中間モデル上の generic extension で考えてよい）． ⊣ (Claim 8.3) (Theorem 8)

P を p.o. として， X ⊆ P が centered とは，任意の Y ∈ [X]^{ℵ_{0}} に対し， x ∈ X で x ≤ Y （つまり x ≤ y for all y ∈ Y ）となるものが存在すること． P が σ-centered とは， P は可算な centered な部分集合の族の和集合となっていること．

Proposition 9 P が σ-centered なら， P は random real を付加しない． Proof σ-centered な p.o. の regular sub-p.o. も σ-centered だから， random algebra B （の positive elements）が σ-centered でないことを示せばよい．

μ を B の測度とする． B^{+} が σ-centered だったとすると， B^{+} は ω 個の ultrafilters の和集合 ⋃_{n∈ω} F_{n} としてあらわせる．各 n に対し， inf{μ(b) : b ∈ F_{n}} = 0 である（inf{μ(b) : b ∈ F_{n}} ≥ ε > 0 なら， F_{n} が ultrafilter であることから， {b ∈ B : μ(b) ≥ ε} ⊆ F_{n} となるが，このことと F_{n} の有限加法性から 0 ∈ F_{n} が帰結できてしまい矛盾である）． n ∈ ω に対し， b_{n} ∈ B^{+} を −b_{n} ∈ F_{n} かつ μ(−b_{n}) < 1/2^{n+3} となるようにとる． b = ∏_{n∈ω} b_{n} とすると， b ≠ 0 となるが， b はどの F_{n} にも属さない．これは矛盾である．

(Proposition 9)

4 C_{2}^{s}(κ)

κ を cardinal とするとき， C_{2}^{s}(κ) は次の命題である：

⟨A(α, i) : α < κ, i < ω⟩ を P(ω) の元からなる matrix とし， T ⊆ ω^{2} とするとき，次の (i), (ii) のどちらかが成り立つ．

(i) stationary な S ⊆ κ で，すべての (t_{0}, t_{1}) ∈ T と s_{0}, s_{1} ∈ S, s_{0} ≠ s_{1} に対し， A(s_{0}, t_{0}) ∩ A(s_{1}, t_{1}) ≠ ∅;

(ii) (t_{0}, t_{1}) ∈ T と stationary な S_{0}, S_{1} ⊆ κ で，すべての s_{0} ∈ S_{0}, s_{1} ∈ S_{0}, s_{0} ≠ s_{1} に対し， A(s_{0}, t_{0}) ∩ A(s_{1}, t_{1}) = ∅ となるようなものが存在する．

Proposition 10 C_{2}^{s}(κ) implies b ≠ κ.

Proof Suppose that ⟨f_{α} : α < κ⟩ is an increasing chain in ⟨^{ω}ω, ⊆^{∗}⟩ such that {f_{α} : α < κ} is unbounded.

For each f ∈ ^{ω}ω let

f^{↑} = {⟨n, m⟩ ∈ ω^{2} : m > f(n)},
f^{↓} = {⟨n, m⟩ ∈ ω^{2} : m ≤ f(n)}.

Now for α < κ and i < ω, let

A(α, i) = \{ \begin{matrix}f^{↑}, & if i = 0; \\ f^{↓}, & otherwise. \end{matrix}

We claim that the matrix ⟨A(α, i) : α < κ, i < ω⟩ is a counter example to C_{2}^{s}(κ). First, suppose that S ⊆ κ is stationary. Then by Theorem 0.7 in [8], there are α, β ∈ S such that α < β and f_{α} ≤ f_{β}. It follows that A(α, 1) ∩ A(β, 0) = ∅.

On the other hand, if S_{0}, S_{1} ⊆ κ are stationary, then there are α^{∗} ∈ S_{0} and β^{∗} ∈ S_{1} such that

(α^{∗} < β^{∗} ∧ f_{α^{∗}} ≰ f_{β^{∗}}) ∨ (α^{∗} > β^{∗} ∧ f_{α^{∗}} ≱ f_{β^{∗}}).

[ If there were no such α^{∗}, β^{∗}, then we could construct a sequence f_{α_{1}} < f_{α_{2}} < ⋯ < f_{α_{ξ}} < ⋯, for ξ < ω_{1}. But since dom(f_{α}) = rng(f_{α}) = ω, this is impossible. ]

Then A(α^{∗}, i) ∩ A(β^{∗}, j) ≠ ∅ for all i, j ∈ ω. (Proposition 10)

Theorem 11 (Juhász-Kunen [5], for κ = ℵ_{2}) SEP implies C_{2}^{s}(κ) for cardinal κ with cf(κ) ≥ ω_{2}.

Proof Suppose that A = ⟨A(α, n) : α ∈ κ, n ∈ ω⟩ is a matrix of subsets of ω and T ⊆ ω^{2}. Assume that (i) in the definition of C_{2}^{s}(κ) does not hold for A and T. I.e. assume that for any stationary S ⊆ κ there are ⟨t_{0}, t_{1}⟩ ∈ T and ⟨s_{0}, s_{1}⟩ ∈ (S)^{2} such that A(s_{0}, t_{0}) ∩ A(s_{1}, t_{1}) = ∅. Without loss of generality we may assume T = T^{−1}.

For X ⊆ κ, let H(X) ⊆ X be defined recursively by:

γ ∈ H(X) ⇔ γ ∈ X ∧ A(β, t_{0}) ∩ A(γ, t_{1}) ≠ ∅ for any ⟨t_{0}, t_{1}⟩ ∈ T and β ∈ H(X) ∩ γ

By assumption H(X) is always a non stationary subset of κ. Also we have (∗) γ ∈ X \ H(X) ⇒ there are β ∈ H(X) ∩ γ and ⟨t_{0}, t_{1}⟩ ∈ T such that A(β, t_{0}) ∩ A(γ, t_{1}) = ∅ .

Let λ be large enough and N ≺ H(λ) be such that

(0) | N | = ℵ_{1};

(1) [N]^{ℵ_{0}} ∩ N is cofinal in [N]^{ℵ_{0}};

(2) A, T ∈ N and

(3) P(ω) ∩ N ≤_{σ} P(ω).

Let δ = sup(κ ∩ N). Note that κ ∈ N by A ∈ N and δ < κ since cf(δ) < ω_{2}. (3) is possible by the assumption of SEP.

Claim 11.1 cf(δ) = ω_{1}.

⊢ cf(δ) ≤ ω_{1} by | N | = ℵ_{1}. Suppose that cf(δ) = ω and let X ∈ [δ]^{ℵ_{0}} ∩ N be cofinal in δ. Then by (1) there is X′ ∈ [κ]^{ℵ_{0}} ∩ N with X ⊆ X′. But then N ⊧“X′ is cofinal in κ”. Hence by elementarity X′ is really cofinal in κ. This is a contradiction to cf(κ) ≥ ω_{2}.

⊣ (Claim 11.1)

Let ⟨δ_{ξ} : ξ < ω_{1}⟩ be an increasing cofinal sequence of ordinals in N below δ. So letting C = {C ⊆ κ : C is club in κ}, there is a decreasing sequence ⟨C_{ξ} : ξ < ω_{1}⟩ of elements of C ∩ N which is coinitial (w.r.t. ⊆) in C ∩ N (use (1) at limit steps of the construction of the sequence ⟨C_{ξ} : ξ < ω_{1}⟩ — note that C ∈ N). For each ξ < ω_{1} let S_{ξ} = H(C_{ξ} \ δ_{ξ}). Then S_{ξ} ∈ N and S_{ξ} is a non stationary subset of κ. For all ξ < ω_{1}, δ ∈ C_{ξ} but δ ∉ X_{ξ} (For the latter assertion consider η < ω_{1} such that S ∩ C_{η} = ∅). Hence by (∗), there is β_{ξ} ∈ S_{ξ} and ⟨t_{0}^{ξ}, t_{1}^{ξ}⟩ ∈ T such that A(β_{ξ}, t_{0}^{ξ}) ∩ A(δ, t_{1}^{ξ}) = ∅ for each ξ < ω_{1}. Without loss of generality t_{0}^{ξ} = t_{0} and t_{1}^{ξ} = t_{1} for some ⟨t_{0}, t_{1}⟩ ∈ T for all ξ ∈ ω_{1} and ⟨β_{ξ} : ξ < ω_{1}⟩ is strictly increasing (this is because S_{ξ} is disjoint from δ_{ξ}). Note that ⟨β_{ξ} : ξ < ω_{1}⟩ is cofinal in δ (since β_{ξ} ≥ δ_{ξ} for all ξ < ω_{1}). By (3), there is b ∈ P(ω) ∩ N such that b ⊆ (ω \ A(δ, t_{1})) and A(β_{ξ}, t_{0}) ⊆ b for uncountably may ξ < ω_{1}. Let

D_{0} = {β < κ : A(β, t_{0}) ⊆ b}

and

D_{1} = {β < κ : A(β, t_{1}) ∩ b = ∅}.

Then D_{0}, D_{1} ∈ N and they are stationary since N ⊧“D_{0} and D_{1} are stationary” — we can check this by showing C_{ξ} ∩ D_{0} ≠ ∅, C_{ξ} ∩ D_{1} ≠ ∅ for all ξ < ω_{1}. By the definition of D_{0} and D_{1}, A(β_{0}, t_{0})∩A(β_{1}, t_{1}) = ∅ for all ⟨β_{0}, β_{1}⟩ ∈ (D_{0}, D_{1}). Thus (ii) in the definition of C_{2}^{s}(κ) holds for these A and T. (Theorem 11)

Theorem 12 (Juhász, Soukup, Szentmiklóssy [6]) κ を cardinal として， C_{2}^{s}(κ) を仮定calA する． A ⊆ [ω]^{ℵ_{0}} で | A | = κ のとき，次の (a) と (b) のどちらかが成り立つ：

(a) B ∈ [A]^{κ} ですべての a, a′ ∈ B に対し， | a ∩ a′ | = ℵ_{0} となるものが存在する;

(b) B_{0}, B_{1} ∈ [A]^{κ} で， | (⋃ B_{0}) ∩ (⋃ B_{1}) | < ℵ_{0} となるものが存在する． Proof ⟨A_{ξ} : ξ < κ⟩ を A の injective な enumeration とする． ξ < κ と n ∈ ω に対し，

A(ξ, n) = A_{ξ} \ n

とする．ある stationary な S ⊆ κ があって，すべての異なる ξ, η ∈ S と m, n ∈ ω に対し A(ξ, m) ∩ A(η, n) ≠ ∅ となるなら， B = {A_{ξ} : ξ ∈ S} は上の (a) を満たす．そうでなければ， C_{2}^{s}(κ) により， stationary な S_{0}, S_{1} ⊆ κ と m, n ∈ ω で，すべての異なる ξ ∈ S_{0}, η ∈ S_{1} に対し，

A(ξ, m) ∩ A(η, n) = ∅

となるようなものが存在する．このとき， k = max{m, n} として， B_{0} = {A_{ξ} : ξ ∈ S_{0}}, B_{1} = {A_{ξ} : ξ ∈ S_{1}} とすれば，

(⋃ B_{0}) ∩ (⋃ B_{1}) ⊆ k

となる．したがって，このような B_{0}, B_{1} が求めるものとなる． (Theorem 12)

Corollary 13 (Juhász, Soukup, Szentmiklóssy) C_{2}^{s}(κ) が成り立つとする．このとき， κ-Lusin gap は存在しない．

Proof A ⊆ [ω]^{ℵ_{0}} を pairwise almost disjoint で | A | = κ となるものとする．このとき， Theorem 12 (a) はこの A に対し成り立たないから， Theorem 12 により， B_{0}, B_{1} ∈ [A]^{κ} で， | (⋃ B_{0})∩(⋃ B_{1}) | < ℵ_{0} となるものが存在する． b = ⋃ B_{0} とすれば， B_{0} ⊆ {y ∈ A : y ⊆^{∗} b} かつ B_{1} ⊆ {y ∈ A : y ⊆^{∗} ω \ b} となるから， A は Lusin gap ではない． (Corollary 13)

Corollary 14 Ground model に random reals を continuum 個つけ加えて得られるモデルでは，すべての κ ≤ 2^{ℵ_{0}} に対し， C_{2}^{s}(κ) は成り立たない．

5 Generic absoluteness

基数 κ, λ に対し，集合 S が (κ, λ)-family とは | S | ≤ κ, ∀a ∈ S (| a | ≤ λ) となることとする． (<κ, <λ)-family etc. も同様に定義する．

κ を cardinal として， P を p.o. とする．このとき，

BFA_{κ}(P) ⇔ for any (κ, κ)-family D of maximal antichains in B = r.o.(P) and p ∈ P, there is a D-generic filter G over B = r.o.(P) with p ∈ G.

X を任意の集合とするとき，

Σ_{1}(X)-absoluteness for P ⇔ for any a ∈ X and any Σ_{1}-formula φ(x), φ(a) holds if and only if ∥–_{P} “ φ(a) ”.

この用語により Lévy-Shoenfield absoluteness lemma は

Σ_{1}(H(ω_{1}))-absoluteness (for any extension)

とあらわせることに注意する．（c.f. projective absoluteness for P は， H(ω_{1}) ≺ H(ω_{1})^{V^{P}} ）

Theorem 15 (Bagaria, [2]) cf(κ) > ω として P を p.o.-set とする．このとき，次は同値

                                                                                                                        bfa-absoluteness

となる：

(1) BFA_{κ}(P);

(2) Σ_{1}(P(κ))-absoluteness for P;

(3) Σ_{1}(H(κ^{+}))-absoluteness for P.

(4) H((κ^{+})^{V}) ≺_{Σ_{1}} H((κ^{+})^{V^{P}})^{V^{P}}.

Corollary 16 (Bagaria, [2])

(a) MA_{ℵ_{1}} ⇔ Σ_{1}(H(ℵ_{2}))-absoluteness for all c.c.c. p.o.-sets.

(b) MA ⇔ Σ_{1}(H(2^{ℵ_{0}}))-absoluteness for all c.c.c. p.o.-sets.

(c) BPFA ⇔ Σ_{1}(H(ℵ_{2}))-absoluteness for all proper p.o.-sets.

(d) BMM ⇔ Σ_{1}(H(ℵ_{2}))-absoluteness for all stationally (⊆ ω_{1}) preserving p.o.-sets^{10} .

Theorem 15,(4) により，たとえば，

BPFA ⇔ H(ℵ_{2})^{V} ≺_{Σ_{1}} H((ℵ_{2})^{V^{P}})^{V^{P}} for all proper p.o. P

となる．

Lemma 17 BFA_{κ}(P) なら P はすべての cardinal λ ≤ κ を保存する． bfa-kappa-pres

Proof これは次の Lemma 18 からも出るが，後で Theorem 15 の証明で用いるので，直接的な証明を与えておく． B = r.o.(P) とする． Lemma が成り立たないとすると，

p ∥–_{B^{+}} “ there are μ < λ ≤ κ and onto mapping f : μ → λ ”

10 BMM の consistency strength はまだ分かっていないらしい．

となる p がとれるから， μ̇, λ̇ と ḟ をこのような cardinals と mapping の P -names とする．このとき，

D^{∗} = ({−p} ∪ {∥μ̇ = ν∥_{B} · p : ν < κ}) \ {0_{B}},
D^{∗∗} = ({−p} ∪ {∥λ̇ = ν∥_{B} · p : ν < κ}) \ {0_{B}}

として，各 α < κ に対し，

D_{α} = ({−p} ∪ {∥ḟ(β) = α∥_{B} · p : β < κ}) \ {0_{B}}

とする． D = {D_{α} : α < κ} ∪ {D^{∗}, D^{∗∗}} とすると， D は B の maximal antichains の (κ, κ)-family となるから， BFA_{κ}(P) により， D-generic filter G over B が存在する．ところが， ḟ^{G} は μ̇^{G} から λ̇^{G} への onto mapping で μ̇^{G} < λ̇^{G} となるから矛盾である． (Lemma 17)

Lemma 18 BFA_{κ}(P) なら P はすべての λ ≤ κ の stationary subset を保存する． stat-preserving

Proof Theorem 15 を仮定して示す． “S ⊆ λ is not a stationary subset of λ” は

∃C [ C ⊆ λ ∧ C is club ∧ C ∩ S = ∅]

とあらわせる．ここで上の式は S と λ をパラメタとして持つ Σ_{1}-文となっている． λ ∈ P(κ) だから， ⟨λ, S⟩ は P(κ) の元で code できる．したがって， Σ_{1}(P(κ))-absoluteness により， S ∈ V, S ⊆ λ に対し， ∥–_{P} “ S ⊆ λ is not a stationary subset of λ ” なら， “S ⊆ λ is not a stationary subset of λ” が成り立つことがわかる． (Lemma 18)

Lemma 19  asb-limit

(a) “2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{n}” は Σ_{2}-formula であらわせる．

(b) X が c.c.c. p.o.s と σ-closed p.o.s を含むとき， Σ_{2}(∅)-absoluteness for X は成り立たない．

(c) P が reals を付加するときには， Σ_{1}(H((2^{ℵ_{0}})^{+}))-absoluteness は P に対し成り立たない．

Proof (a): “2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{n}” は次のように表せる：

∃X∃Y ∃F [ \begin{matrix}X ⊆ P(ω) ∧ Y is an ordinal ∧ F : Y →^{1-1} X ∧ ∃α_{1}, …, α_{n} ∈ Y \\ (⋀_{i=1}^{n−1} α_{i} < α_{i+1} ∧ ⋀_{i=1}^{n−1} ∀G (G : α_{i} → α_{i+1} → G is not a surjection)) ] \end{matrix}

(b): (a) による． X が c.c.c. p.o.s と σ-closed p.o.s を含むとする．もし CH が成り立つなら， P ∈ X を ¬CH を force する c.c.c. p.o. とすると， Σ_{1}-文 “2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{2}” は V で成り立たないが， V^{P} では成り立つ．したがって， Σ_{2}(∅)-absoluteness for X は成り立たない．

もし CH が成り立たないなら， Q ∈ X を 2^{ℵ_{0}} を ℵ_{1} に collapse する σ-closed な p.o. とすると， Σ_{1}-文 “2^{ℵ_{0}} ≥ ℵ_{2}” は V で成り立つが， V^{Q} では成り立たない．したがって， Σ_{2}(∅)-absoluteness for X は成り立たない．

(c): a = P(ω) とすると a ∈ H((2^{ℵ_{0}})^{+}) で， V ⊧ ∀x(x ⊆ ω → x ∈ a) だが， V [G] ではこの文は成り立たない． (Lemma 19)

Proof of Theorem 15 : 一般性を失うことなく， P は complete Boolean algebra B の positive elements からなる p.o.-set としてよい．

(3) ⇒ (2): P(κ) ⊆ H(κ^{+}) だからよい．

(2) ⇒ (3): φ を Σ_{1}-formula として， a ∈ H(κ^{+}) とすると， | trcl(a) | ≤ κ となる． M を a を元として含む任意の濃度 κ の transitive set として， x^{∗} ∈ P(κ) を structure (M, ∈, a) を code するものとする．このとき，

φ(a) ↔ ∃y∃z∃f [ y is transitive ∧ z ∈ y ∧ f is an isomorphism between ⟨y, ∈, z⟩ and the structure on κ coded by x^{∗} ∧ φ(z) ]

とすると，この同値式は V の任意の (generic) extension で成り立つ．上の右辺はパラメタ x^{∗} ∈ P(κ) を持つ Σ_{1}-文だから， (2) の仮定により absolute である．したがって左辺も absolute となる．

(1) ⇒ (2): BFA_{κ}(P) を仮定する． a ∈ P(κ) として， φ(x) を Σ_{1}-formula とする． bounded formula ψ に対し， φ は ∃yψ(y, x) という形をしているとする． φ(a) が成り立てば， ∥–_{P} “ φ(a) ” となることは明らかである．

逆に， p ∈ P で a ∈ P(κ) に対し， p ∥–_{P} “ φ(a) ” となると仮定する． G を V -generic over P で p ∈ G となるものとして， V [G] で考える． Lemma 17 により， κ は V [G] でも cardinal だから， Löwenheim-Skolem downwards 定理により十分に大きな λ に対し，濃度 κ の M ≺ H(λ) で， κ ⊆ M, a ∈ M となるものがとれる．このとき， M ⊧ φ[a] である．したがって， b ∈ M で M ⊧ ψ[b, a] となるものが存在する． f : ⟨M, ∈⟩ ≅ ⟨κ + κ, E⟩ を f |` κ = id_{κ}, f(a) = κ となるものとする． h : κ → κ + κ を canonical な 1-1 onto mapping とする． ⟨κ + κ, E⟩ は well-founded だから，各 γ < κ に対し， g_{γ} : h′′γ → κ で，

α, β ∈ h′′γ ∧ α E β → g_{γ}(α) < g_{γ}(β)

となるようなものがとれる．

ここで V にもどって， Ė, ⟨ġ_{γ} : γ < κ⟩, ḃ を，それぞれ E, ⟨g_{γ} : γ < κ⟩, f(b) に対応する P -name とする．特に， E, ⟨g_{γ} : γ < κ⟩, f(b) の上で述べた性質は，すべて p により P で force されるものとする．

D を次の (a), (b), (c) のタイプの P の maximal antichains からなる (κ, κ)-family とする：

(a) すべての α, β ∈ κ + κ に対する， A_{α,β} = {∥αĖβ∥, ∥¬αĖβ∥} \ {0_{B}},

(b) すべての γ ∈ κ と α ∈ h′′γ に対する， B_{γ,α} = {∥ġ_{γ}(α) = β∥ : β < κ} \ {0_{B}},

(c) すべての formula η と α_{1},…, α_{n} ∈ κ + κ に対する ; C_{η,α_{1},...,α_{n−1}} = (\begin{matrix}\{∥⟨κ + κ, Ė⟩ ⊧ ¬∃xη[x, α_{1}, …, α_{n−1}]∥\} \\ ∪\{∥⟨κ + κ, Ė⟩ ⊧ η[α, α_{1}, …, α_{n−1}]∥ : α < κ + κ\}) \ \{0_{B}\}. \end{matrix}

G を D-generic filter over P とすると，任意の formula η と α_{0},…, α_{n−1} ∈ κ + κ に対し，

⟨κ + κ, Ė^{G}⟩ ⊧ η[α_{0}, …, α_{n−1}] ⇔ \begin{matrix}p ∥–_{P} “ ⟨κ + κ, Ė^{G}⟩ ⊧ η[α_{0}, …, α_{n−1}] ” \\ for some p ∈ G \end{matrix}

となることが η に関する帰納法で示せる．特に， p ∥–_{P} “ ⟨κ + κ, Ė⟩ ⊧ ψ[ḃ, κ] ” により， ⟨κ + κ, Ė^{G}⟩ ⊧ ψ[ḃ^{G}, κ] で， ⟨κ + κ, Ė^{G}⟩ は extensional となる．

(b) により ⟨κ+κ, Ė^{G}⟩ は well-founded となるから， transitive collapse ρ : ⟨κ+κ, Ė^{G}⟩ → ⟨N, ∈⟩ がとれる． ρ|` κ = id_{κ} により ρ(κ) = a となるから， N ⊧ ψ[ρ(ḃ^{G}), a] である． ψ は bounded だったから，このことから ψ(ρ(ḃ^{G}), a) が V で成り立つことがわかる．したがって， φ(a) である．

(3) ⇒ (4): G を V -generic over P とする． φ を Σ_{1}-formula として a ∈ H(κ^{+})^{V} とする．

H(κ^{+})^{V} ⊧ φ[a] なら， H(κ^{+})^{V [G]} ⊧ φ[a] となることは明らかである．

逆に H(κ^{+})^{V [G]} ⊧ φ[a] とすると，

V [G] ⊧ ∃M [ M is transitive and extensional ∧ M ⊧ φ[a] ]

となるから， (3) により，

V ⊧ ∃M [ M is transitive and extensional ∧ M ⊧ φ[a] ]

となる． φ が Σ_{1} だったことを思い出すと，このことから V ⊧ φ[a] が帰結できる．したがって，（後出の Lemma 24 により） H(κ)^{V} ⊧ φ[a] である．

(4) ⇒ (1): D を P = ⟨P, ≤^{P} ⟩ の antichain の (κ, κ)-family とする． λ を十分に大きくとり， P, D ∈ H(λ) となるようにする． M ≺ H(λ) を， P, D ∈ M, D ⊆ M, ⋃ D ⊆ M, | M | ≤ κ となるようにとる． ρ : M → N を transitive collapse として， P′ = ρ(P) とし， ≤^{P′} = ρ(≤^{P}) とする．また， D′ = ρ(D) とする．このとき， ⟨P′, ≤^{P′}⟩ は p.o.-set となり， D′ = {ρ(A) : A ∈ D} で， D′ の各元 ρ(A) は ρ(A) = {ρ(a) : a ∈ A} となり，これは ⟨P′, ≤^{P′}⟩ での maximal antichain となる． P′, ≤^{P′}, D′ ∈ H(κ^{+}) となることに注意する．

G を P 上 V -generic とすると， V [G] で ρ′′(G ∩ M) は H(κ^{+}) の元で， D′-generic over P′ となる．したがって，

V [G] ⊧ H(κ^{+}) ⊧ ∃X [ X is D-generic filter over P′]

となる． “∃X [...]” は Σ_{1}-formula だから， (4) により，同じ命題は V での H(κ^{+}) でも成り立つ．したがって P′ 上の D′-generic filter H が存在するが， Ĥ を ρ^{−1}′′H から生成される P 上の filter とすれば， Ĥ は D-generic となる． (Theorem 15)

Theorem 20 (J. Bagaria, [2]) BFA_{ω_{1}}(P) ⇒ Σ_{3}^{1}-absoluteness for {P }.

Proof BFA_{ω_{1}}(P) を仮定して， φ を

∃^{1}x∀^{1}z∃^{1}v ψ(x, z, v, y_{1}, … y_{m})

の形をした Σ_{3}^{1}-formula とする．ただし ψ は arithmetical. 簡単のために m = 1 とする． a ∈ ^{ω}ω として， ∥–_{P} “ A^{2} ⊧ φ[a] ” と仮定する． Lemma 17 により， P は ω_{1} を collapse しない．したがって， Schoenfield’s Absoluteness Lemma により，

∥–_{P} “ ∃x ∈ ^{ω}ω [ L_{ω_{1}}[a, x] ⊧ “A^{2} ⊧ ∀^{1}z∃^{1}vφ[x, z, v, a]” ] ”

となる． mapping α ↦ L_{α}[a, x] は ⟨a, x⟩ 上 Σ_{1}-definable だから，上の論理式は a, ω_{1} 上 Σ_{1} である．したがって， Theorem 15 により，

V ⊧ ∃x^{ω}ω [ L_{ω_{1}}[a, x] ⊧ “A^{2} ⊧ ∀^{1}z∃^{1}vφ[x, z, v, a]” ]

が成り立つ．したがって， x_{0} ∈ ^{ω}ω ∩ V で，

L_{ω_{1}}[a, x_{0}] ⊧ “A^{2} ⊧ ∀^{1}z∃^{1}vφ[x_{0}, z, v, a]”

となるものが存在する．ここでふたたび Shoenfield’s Absoluteness Lemma を使うと，

A^{2} ⊧ ∀^{1}z∃^{1}vφ[x_{0}, z, v, a]

が V で成り立つことがわかり， A^{2} ⊧ φ(a) が帰結できる．

逆に， V ⊧ “A^{2} ⊧ φ[a]” なら ∥–_{P} “ A^{2} ⊧ φ(a) ” となることは Shoenfield’s Absoluteness Lemma から明らか． (Theorem 20)

上の結果での Σ_{3}^{1} は一般には Σ_{4}^{1} で置き換えられない：

Theorem 21 (J. Bagaria) Σ_{3}^{1}-absoluteness for random forcing と Σ_{4}^{1}-absoluteness for abs->inacc Cohen forcing を仮定すると， ω_{1} は inaccessible to reals になる．つまり，すべての a ∈ ^{ω}ω に対し， ω_{1}^{L[a]} < ω_{1} となる．

したがって，例えば L から出発して，通常のやり方で MA のモデル L[G] を作ったときには， ω_{1}^{L} = ω_{1}^{L[G]} だから， L[G] では Σ_{4}^{1}-absoluteness for c.c.c. p.o.s は成り立たない．

Theorem 21 の証明のためには，次の Woodin による定理が必要になる：

Theorem 22 (Lemma 4 in Woodin [9]) V を ZFC のモデルとして， S ∈ V を reals の

                                                                                                                        woodin's-lemma

injective な（V の意味で） uncountable な列とし， c を V 上 Cohen とする．このとき V [c] は L(S, c) = (L(S))[c] 上 random な real を含まない．

Proof λ を S の長さとして， ⟨σ_{α} : α < λ⟩ ∈ L(S) を pairwise almost disjoint な [ω]^{ℵ_{0}} の元の列とする^{11} ．^{ω}2 の canonical な open base を ⟨I_{k} : k < ω⟩ として enumerate しておく．この enumeration は open base の各元がそれぞれ無限回現れるようなものとする．

c ∈ ^{ω}ω を V 上 Cohen とする．つまり， V -generic な P = Fn(ω, ω) 上の ultrafilter G で c = ⋃ G となるものが存在するものとする．

以下 V [c] で考える． f, g ∈ ^{ω}ω を， n ∈ ω に対し， f(n) = c(2n), g(n) = c(2n + 1) として定義する． f, g は V [c] 上互いに generic となる，つまり， f は V [g] 上 Cohen で， g は V [f] 上 Cohen となる．

各 α < λ に対し， g_{α} = g|` σ_{α} とする． α < λ, 1 ≤ n < ω に対し，開集合 O_{α}^{n} ⊆ ^{ω}2 を，次のようにして定義する：まず， α < λ, 1 ≤ n < ω に対し， ⟨k_{m}^{α,n} : 1 ≤ m < ω⟩ を，

\begin{matrix}k_{1}^{α,n} = & min\{k ∈ σ_{α} : g_{α}(k) = n , μ(I_{f(k)}) < \frac{1}{n}\}, \\ k_{m+1}^{α,n} = & min\{k ∈ σ_{α} : k > k_{m}, g_{α}(k) = n, μ(I_{f(k_{1}^{α,n})}) + ⋯ + μ(I_{f(k_{m}^{α,n})}) + μ(I_{f(k)}) < \frac{1}{n}\} \end{matrix}

11 L(S) は L_{0}(S) = tc({S}) から出発して， L_{α+1}(S) = def(L_{α}(S)), L_{δ}(S) = ⋃_{α<δ} L_{α}(S) for a limit δ として定義される inner model だった．

となるように定義する — これは f と g の genericity により可能である．

O_{α}^{n} = ⋃_{1≤m<ω}(I_{f(k_{m}^{α,n})})^{V [c]}

とする． ⟨k_{m}^{α,n} : α < λ, 1 ≤ n, m < ω⟩ ∈ L(S, c) である．特に各 α < κ に対し， ⟨O_{α}^{n} : 1 ≤ n < ω⟩ は^{ω}ω ∩ L(S, c) の元でコードされた F_{σ} 集合の可算列となる．

k_{m}^{α,n}’s の定義から，

μ(O_{α}^{n}) ≤ \frac{1}{n}

となる．したがって，

Claim 22.1 各 α < λ に対し， O_{α} = ⋂_{1≤n<ω} O_{α}^{n} は^{ω}ω ∩ L(S, c) の元でコードされた

                                                                                                                        qqq-C1

null set となる． ⊣ (Claim 22.1)

Claim 22.2 すべての u ∈ [λ]^{≥ℵ_{0}} ∩ V に対し， ⋃_{α∈u} O_{α}^{n} = (^{ω}2)^{V [c]} となる． qqq-C2

⊢ V で議論する． f, g, g_{α} etc. の standard な P -names を ḟ, ġ, ġ_{α} etc. とする．任意の p ∈ P に対し， p′ ≤ p で

p′ ∥–_{P} “ there is a finite u′′ ⊆ u such that ⋃_{α∈u′′} Ȯ_{α}^{n} = ^{ω}2 ”

となるものがあることを示せば十分である．ただし， Ȯ_{α}^{n} は O_{α}^{n} の standard な P -name である．

必要なら p を拡張して，ある m ∈ ω に対し， dom(p) = m となっているとしてよい． u′ ∈ [u]^{ℵ_{0}} で σ_{α} ∩ m, α ∈ u′ がすべて同じになるようなものをとる．すべての α ∈ u′ に対し， p は， k̇_{1}^{α,n},…, k̇_{r}^{α,n} を決定するとする．このとき，すべての α ∈ u′ に対し， k̇_{1}^{n,α},…, k̇_{r}^{α,n} はそれぞれ等しくなるから，それらを k_{1},…, k_{r} とよぶことにする．

\frac{1}{n} − (μ(I_{f(k_{1})}) + ⋯ + μ(I_{f(k_{r})})) > \frac{1}{2^{l}}

となるような l ∈ ω をとる． i_{0},…, i_{2^{l}−1} ∈ ω を， k_{r} < i_{0}, …, i_{2^{l}−1} で I_{i_{0}}, I_{i_{1}}, …, I_{i_{2^{l}−1}} が {[s] : l(s) = l} を enumerate しているようなものとする．互いに異なる α_{0}, …, α_{2^{l}−1} ∈ u′ をとる． m^{∗} ≥ m を σ_{α_{0}} \ m^{∗}, …, σ_{α_{2^{l}−1}} \ m^{∗} が pairwise disjoint となるようなものとする． k_{0}^{∗} ∈ σ_{α_{0}} \ m^{∗}, …, k_{2^{l}−1}^{∗} ∈ σ_{α_{2^{l}−1}} \ m^{∗} をとり， k^{∗∗} = max{k_{0}^{∗}, …, k_{2^{l}−1}^{∗}} + 1 とする．ここで，

p′ = p ∪{⟨2k_{0}^{∗}, i_{0}⟩, …, ⟨2k_{2^{l}−1}^{∗}, i_{2^{l}−1}⟩}
{⟨2k_{0}^{∗} + 1, n⟩, …, ⟨2k_{2^{l}−1}^{∗} + 1, n⟩}
{⟨k, 0⟩ : k ∈ k^{∗∗} \ (m ∪ {2k_{0}^{∗}, 2k_{0}^{∗} + 1, 2k_{1}^{∗}, 2k_{1}^{∗} + 1, …, 2k_{2^{l}−1}^{∗}, 2k_{2^{l}−1}^{∗} + 1})}

とすれば，

p′ ∥–_{P} “ Ȯ_{α_{0}}^{n} ∪ ⋯ ∪ Ȯ_{α_{2^{l}−1}}^{n} = ^{ω}2 ”

となる． ⊣ (Claim 22.2)

r ∈ (^{ω}2)^{V [c]} が L(S, c) 上 random だったとして矛盾を導く． Claim 22.1 により，すべての α < λ と 1 ≤ n < ω に対し， r ∉ O_{α} となる．したがって， V で， ṙ を r の P -name, Ȯ_{α}^{n} を O_{α}^{n} の P -name として，各 α < λ に対し， p_{α} ∈ P と 1 ≤ n_{α} < ω で，

p_{α} ∥–_{P} “ ṙ ∉ Ȯ_{α}^{n_{α}} ”

となるものが存在する． P は可算で， λ は非可算だから， u ∈ [λ]^{≥ℵ_{0}}, p^{∗} ∈ P, 1 ≤ n^{∗} < ω で，すべての α ∈ u に対し， p_{α} = p^{∗}, n_{α} = n^{∗} となるようなものがとれるが，このとき，

p^{∗} ∥–_{P} “ ṙ ∉ ⋃_{α∈u} Ȯ_{α}^{n^{∗}} ”

となる．これは Claim 22.2 に矛盾である． (Theorem 22)

Proof of Theorem 21 : ω_{1} が L で inaccessible でないと仮定して矛盾を導く． ω_{1} が L で inaccessible でないなら， x^{∗} ∈ ^{ω}ω で L(x^{∗}) ⊧ ω_{1} = (ω_{1})^{V} となるものがとれる．任意の y ∈ ^{ω}ω に対し，論理式

“there is a random real over L(x^{∗}, y)”

は Σ_{3}^{1} である^{12} ．この論理式は， V の random extension で成り立つから， absoluteness により， V でも成り立つ．したがって， Π_{4}^{1}-論理式

∀y ∈ ^{ω}ω (there is a random real over L(x^{∗}, y))

が V で成り立つ，したがって， Σ_{4}^{1}-absoluteness for Cohen forcing によりこの論理式は V の Cohen extension V [c] で y をこの V 上の Cohen real c としたもので成り立たなくてはならないが，これは Theorem 22 に矛盾である． (Theorem 21)

Fact 23 ¬CH または， 2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2} なら FA(< 2^{ℵ_{1}}, ω-closed + c.c.c.) が成り立つ．

Proof ¬CH なら，すべての σ-closed c.c.c. c.B.a. は atomic になる [そうでないものがあったとすると，各 lebel が pairwise incompatible な downward にのびる^{ω≤}2 tree が作れるから， c.c.c. に矛盾． ] 2^{ℵ_{1}} = ℵ_{2} なら， 2^{<ℵ_{1}} = ℵ_{1} だが， σ-closed な p.o. に対しては，濃度 ≤ ℵ_{1} の dense sets の族 D が与えられたときには， inductive に D-generic な filter が定義できる．

12 “there is a random real over L(x^{∗}, y)” ⇔

H(ℵ_{1}) ⊧ ∃z ∀g (z ∈ ^{ω}ω ∧ (g ∈ L(x^{∗}, y) ∧ g codes a null set N_{g} → z ∉ N_{g}))

だが， H(ℵ_{1}) ⊧ ⋯ に現れる論理式は Σ_{2} 論理式だから， Proposition 6 により Σ_{3}^{1} である．

6 Reflecting cardinal の特徴付け

Lemma 24 κ < λ を cardinal s とする．このとき， H(κ) ≺_{Σ_{1}} H(λ) が成り立つ．また，

                                                                                                                        Sigma-1

このことから， H(κ) ≺_{Σ_{1}} V となることがわかる．

Proof φ を Σ_{1}-formula として， φ は，ある bounded (i.e. Δ_{0}) formula ψ により ∃xψ(x, y) とあらわされるとする． a ∈ H(κ) とする． H(κ) ⊧ φ[a] なら， H(κ) ⊧ ψ[b, a] となる b ∈ H(κ) が存在する．このとき ψ は bounded だから， absoluteness により， H(λ) ⊧ ψ[b, a] となり， H(λ) ⊧ φ[a] がわかる．

逆に a ∈ H(λ) ⊧ φ[a] とすると， M ≺ H(λ) で， a ∈ M, trcl(a) ⊆ M かつ | M | < κ となるものがとれる． ρ : M ≅ N を M の transitive collapse とすれば， ρ(a) = a となるから， N ⊧ φ[a] となる．したがって， b ∈ N で N ⊧ ψ[b, a] となるものがとれるが， N ⊆ H(κ) だから， ψ が bounded であることから H(κ) ⊧ ψ[b, a] となり， H(κ) ⊧ φ[a]

が帰結できる． (Lemma 24)

Regular cardinal κ が reflecting とは，任意の a ∈ H(κ) と，任意の cardinal λ ≥ κ と，任意の論理式 φ に対し， H(λ) ⊧ φ[a] なら， cardinal δ < κ で， H(δ) ⊧ φ[a] となるものが存在すること．

Proposition 25 (J. Bagaria (?), see [1]) Regular cardinal κ に対し，次は同値となる：

                                                                                                                        reflecting-card

(a) κ は reflecting;

(b) H(κ) ≺_{Σ_{2}} V;

(c) V_{κ} ≺_{Σ_{2}} V.

Proof (a) ⇒ (b): κ を reflecting とする． a ∈ H(κ) として， H(κ) ⊧ ∃x∀yφ[x, y, a] とする．ただし， φ は bounded formula とする． b ∈ H(κ) を H(κ) ⊧ ∀yφ[b, y, a] となるようなものとすると， Lemma 24 により， H(κ) ≺_{Σ_{1}} V だから， V ⊧ ∀yφ[b, y, a] となる．したがって， V ⊧ ∃x∀yφ[x, y, a] となる．

逆に， V ⊧ ∃x∀yφ[x, y, a] なら，十分に大きい λ ≥ κ に対し， H(λ) ⊧ ∃x∀yφ[x, y, a] とできる． κ が reflecting により，ある cardinal δ < κ で， H(δ) ⊧ ∃x∀yφ[x, y, a] となるものがとれる．したがって，上のパラグラフでと同じ議論により， H(κ) ⊧ ∃x∀yφ[x, y, a] が帰結できる．

(b) ⇒ (a): (b) が成り立っていると仮定する．任意の formula φ と a ∈ H(κ) に対し， H(λ) ⊧ φ[a] が，ある λ ≥ κ に対して成り立つとする．このとき，

V ⊧ ∃λ∃X [ λ is a cardinal ∧ X = H(λ) ∧ X ⊧ φ[a] ]

となるが， ⊧ の右辺はパラメタ a ∈ H(κ) を持つ Σ_{2}-文だから，仮定により

H(κ) ⊧ ∃λ∃X [ λ is a cardinal ∧ X = H(λ) ∧ X ⊧ φ[a] ]

となる．したがって， δ < κ で， H(δ) ⊧ φ[a] となるものが存在する．

(b) ⇒ (c): (b) を仮定する． κ は strong limit である：そうでなければ，ある λ < κ に対し， P(λ) ∉ H(κ) となるから，

H(κ) ⊧ ∀y∃x [ x ⊆ λ ∧ x ∉ y]

となるが， V ではこの λ ∈ H(κ) をパラメタとして持つ Σ_{2}-文は成り立たないから，これは (b) の仮定に矛盾である． κ は regular だったから H(κ) = V_{κ} となる^{13} . したがって， V_{κ} ≺_{Σ_{2}} V がわかる．

(c) ⇒ (b): 上と同様に， (c) の仮定の下で κ が strong limit となることを示せばよい．なら， κ は limit ordinal だから， P(λ) ∈ V_{κ} である．しがって， V_{κ} ≺_{Σ_{2}} V の仮定により，

V_{κ} ⊧ ∃μ∃f [ μ ∈ Ord ∧ f : μ → P(λ) is onto]

が成り立つ． V_{κ} ∩ Ord = κ だから，このことから 2^{λ} < κ がわかる． (Proposition 25)

Theorem 26 (J. Bagaria, S. Friedman[3]) 次は無矛盾等価である： (0) Σ_{3}^{1}-absoluteness for all set forcing.

(1) Σ_{3}^{1}-absoluteness for {Coll(ω, < μ) : μ ∈ Card}.

(2) There exists a reflecting cardinal.

Proof consis(ZFC + (0)) ⇒ consis(ZFC + (1)): 明らか．

consis(ZFC + (1)) ⇒ consis(ZFC + (2)): V が (1) を満たすとして， κ = ω_{1} とする． Proposition 25 により，次の (a) と (b) を示せば，これから L ⊧ κ is reflecting が帰結できる．

(a) L ⊧ κ is inaccessible （特にこのことから L ⊧ L_{κ} = V_{κ} が言える）

(b) L_{κ} ≺_{Σ_{2}} L.

(a): λ < κ とすると， λ は V の countable ordinal となるから， λ （の order type）を code する real x_{0} が存在する． φ を

∃^{1}x ( x は x_{0} の code する ordinal よりも大きな ordinal α を code する

∧ L ⊧ α is a cardinal)

という文とする． φ はパラメタ x_{0} を持つ Σ_{3}^{1}-文として表せる^{14} . “A^{2} ⊧ φ” は κ の濃度を countable に collapse する p.o. で force できるから， absoluteness の仮定から， A^{2} ⊧ φ は V で成立している．したがって， κ は L で limit cardinal となることがわかる． κ ( = (ω_{1})^{V} e) は V で regular だから，もちろん L でも regular である．

(b): ψ を Σ_{2}-formula とし， x_{1} ∈ L_{κ} とする． L ⊧ ψ[x_{1}] とする．ある countable ordinal α に対し， x_{1} ∈ L_{α} となっているから， x_{1} はある実数 x̂_{1} で code できる．したがって， x̂_{1} をパラメタとして持つ Σ_{3}^{1}-文 η ：

∃^{1}x (x codes some L_{α} ∧ x_{1} ∈ L_{α} ∧ L_{α} ⊧ ψ[x_{1}] ∧ L ⊧ α is a cardinal)

13 Regular cardinal κ に対し， V_{κ} = H(κ) ⇔ κ は strongly incaccesible となる（たとえば Kunen の教科書を参照）． 14 括弧の中は：

¬∃^{1}y (y codes an infinite descending chain with respect to the well ordering x codes),

∀^{1}y (y codes a mapping ∈ L with domain < α → y is not a surjection onto α)

などにより実現できる（後者は Π_{2}^{1} であることに注意．）．

が考えられる（これが Σ_{3}^{1} とできることは前と同様にして分る）． “A^{2} ⊧ η” は（L_{μ} ⊧ η̃ となるような cardinal μ を countable ordinal に force するような p.o. により^{15} ） force できる．したがって， absoluteness の仮定により， A^{2} ⊧ η は成立していることがわかる． α < κ (= ω_{1}) を， L_{α} ⊧ ψ[x_{1}], L ⊧ α is a cardinal となるようにとると， Lemma 24 と同様の証明により L_{α} ≺_{Σ_{1}} L_{κ} がわかるから， L_{κ} ⊧ ψ[x_{1}] がわかる．

逆に L_{κ} ⊧ ψ[x_{1}] とすると，上と同様に L_{κ} ≺_{Σ_{1}} L となっているから， L ⊧ ψ[x_{1}] である．

consis(ZFC + (2)) ⇒ consis(ZFC + (0)): κ を reflecting cardinal とする． Proposition 25 により， V_{κ} ≺_{Σ_{2}} V である． P = Coll(ω, < κ) とする^{16} . G を V -generic over P とする． V [G] ⊧ (0) を示す．

α < κ に対し， P_{α} = Coll(ω, < α) として， G_{α} = G ∩ P_{α} とする． H をある set forcing 上 V [G]-generic として， φ を Σ_{3}^{1}-formula とし， x_{0} ∈ ^{ω}ω ∩V [G] とする． V [G][H] ⊧ φ[x_{0}] なら， P は κ-c.c. を満たすから，ある α < κ で x_{0} ∈ V [G_{α}] となっているものがある． ẋ_{0} を x_{0} に対応する P_{α}-name とすると，

V ⊧ ∃Q̇ [ ∥–_{Coll(ω,<α)∗Q̇} “ A^{2} ⊧ φ[ẋ_{0}] ”]

となるが，この文はパラメタ ⟨Coll(ω, α), ẋ_{0}⟩ ∈ V_{κ} を持つ Σ_{2}-文である．したがって， κ が reflecting cardinal であることと reflecting cadinal の特徴付け Proposition 25 (c) により，

V_{κ} ⊧ ∃Q̇ [ ∥–_{Coll(ω,<α)∗Q̇} “ A^{2} ⊧ φ[ẋ_{0}] ”]

となる．よって， Q̇ ∈ V_{κ} で ∥–_{Coll(ω,<α)∗Q̇} “ A^{2} ⊧ φ[ẋ_{0}] ” となるものが存在するが， Coll(ω, < α) ∗ Q̇ は Coll(ω, < κ) で countable p.o. に force されるから， Coll(ω, < κ) に completely embeddable である．したがって， V ⊆ M ⊆ V [G] で M ⊧ A^{2} ⊧ φ[ẋ_{0}] となるものがある．よって， Schoenfield’s Asoluteness Lemma により， V [G] ⊧ A^{2} ⊧ φ[ẋ_{0}] で

ある． (Theorem 26)

15 η̃ で η に対応する L での statement をあらわすことにする． 16 P = {p : | p | < ℵ_{0}, dom(p) ⊆ κ × ω, ∀⟨α, n⟩ ∈ dom(p) [ p(α, n) = 0 ∨ p(α, n) < α]} である．

7 Projective Absoluteness

We present here a proof of a result by K. Kunen which states that the projective absoluteness for c.c.c. p.o.s holds in the model obtained by Lévy collapsing a weakly compact cardinal to be ω_{1} (Theorem 36). On the other hand, J. Bagaria and Sy Friedman showed that under the projective absoluteness for c.c.c. p.o.s, ω_{1} is weakly compact in L (Theorem 39). Hence the projective absoluteness for c.c.c. p.o.s is equiconsistent with the existence of a compact cardinal.

Let

B = ⟨^{ω}ω ˙∪ ω, ω, +, …, appl, …⟩

be the structure in the language L_{proj} where ω is thought to be a unary relation, +,… are functions on ω (e.g. defined to be constantly 0 elsewhere) appl is defined by appl(f, n) = f(n) for f ∈ ^{ω}ω and n ∈ ω. Then for X ⊆ (^{ω}ω)^{n}, we have:

X is a projective set

( ⇔ X is Σ_{n}^{1}(a) for some n ∈ ω and a ∈ ^{ω}ω) ⇔ X is definable in B with parameters from ^{ω}ω

( ⇔ there is some L_{proj}-formula φ and g_{1},…, g_{m} ∈ ^{ω}ω such that

X = {⟨f_{1}, … f_{n}⟩ ∈ (^{ω}ω)^{n} : B ⊧ φ[f_{1}, …, f_{n}, g_{1}, …, g_{m}]})

⇔ X is definable in ⟨H(ℵ_{1}), ∈⟩ with parameters from H(ℵ_{1})

( ⇔ there is some L_{ZF}-formula φ and x_{1},…, x_{m} ∈ H(ℵ_{1}) such that

X = {⟨f_{1}, … f_{n}⟩ ∈ (^{ω}ω)^{n} : ⟨H(ℵ_{1}), ∈⟩ ⊧ φ[f_{1}, …, f_{n}, x_{1}, …, x_{m}]})

The last equivalence follows from the next lemma:

Lemma 27 (a) ⟨H(ω_{1}), ∈⟩ is definable in B (i.e. there are X ⊆ ^{ω}ω and R ⊆ (^{ω}ω)^{2} projabsL1 definable in B such that ⟨X, R⟩ ≅ ⟨H(ω_{1}), ∈⟩).

(b) B is definable in ⟨H(ω_{1}), ∈⟩ (in the same sense as above).

By the observations above, the projective absoluteness of the model W for a class C of p.o.s (i.e. Σ_{n}^{1}(a) absoluteness of W for all p.o.s from C for any a ∈ ^{ω}ω ∩W and any n ∈ ω) amounts to the following assertion in W:

(∗) For any P ∈ C, ∥–_{P} “ B^{W} ≺ B ”.

By Lemma 27, this is equivalent to:

(∗)′ For any P ∈ C, ∥–_{P} “ ⟨H(ℵ_{1}), ∈⟩^{W} ≺ ⟨H(ℵ_{1}), ∈⟩ ”.

We shall call the weakening of (∗) the weak projective absoluteness (of W) for C:

(∗∗) For any P ∈ C, ∥–_{P} “ B^{W} ≡ B ”.

The following theorem mentioned at the beginning is the main result of this section:

Theorem 28 The following assertions are equiconsistent (over ZFC): projabs-mainThm (1) the projective absoluteness for c.c.c. p.o.s.

(2) there exists a weakly compact cardinal.

Proof consis(ZFC + (1)) ⇒ consis(ZFC + (2)): by Theorem 39. consis(ZFC + (2)) ⇒ consis(ZFC + (1)): by Theorem 36. (Theorem 28)

7.1 Lévy Collapse

For a cardinal λ and S ⊆ On, let

Col(λ, S) = {p : | p | < λ, dom(p) ⊆ S × λ, p(α, ·) : λ ⊇→ α, (or constantly 0 if α = 0)}

be the partial ordering with the order defined by p ≤ q ⇔ p ⊇ q. For a cardinal κ > λ, Col(λ, κ) is also denoted by Coll(λ, < κ) and called “the Lévy collapse of cardinals < κ to λ”.

Lemma 29 (Lemma 10.17 in Kanamori [7]) L10.17 (a) Col(λ, S) is <λ-closed.

(b) For S = X ˙∪ Y, Col(λ, S) ≅ Col(λ, X) × Col(λ, Y).

(c) Suppose that κ > λ is inaccessible. Then Col(λ, κ) satisfies the < κ-c.c.

(d) Col(λ, κ) preserves all cardinals ≤ λ. Col(λ, κ) collapses all cardinals μ with λ < μ < κ. Hence if Col(λ, κ) satisfies the <κ-c.c., then Col(λ, κ) forces κ to be λ^{+}.

(e) Suppose that Col(λ, κ) satisfies the < κ-c.c. For a V -generic filter G over Col(λ, κ) and g ∈ ^{<κ}On ∩ V [G], there is a δ < κ such that g ∈ V [G ∩ Col(λ, δ)].

Lemma 30 (Lemma 10.20 in Kanamori [7])For an uncountable ordinal α, let P be a L10.20 separative p.o. such that | P | ≤ | α | and

∥–_{P} “ ∃f (f is a surjection from ω onto α) ”.

Then there is a dense embedding of a dense subset of Col(ω, {α}) into P. Hence we have r.o.(P) ≅ r.o.(Col(ω, {α})).

Proof Let ν = | α | and let ḟ be a P -name such that ∥–_{P} “ ḟ is a bijection from ω to α ”.

Claim 30.1 For any p ∈ P there is a maximal antichain in P |` p of size ν. In partitular | P | = ν.

⊢ Case I: cf(ν) = ω. Let ν_{n}, n < ω be regular cardinals below ν such that ν = lim_{n∈ω} ν_{n}. It is enough to show that

(†) for any q ∈ P and n ∈ ω, there is an antichain below q of size ≥ ν_{n}.

[ Suppose that (†) holds. We can then take an antichain {p_{n} : n ∈ ω} in P |` p and antichains A_{n} in P |` p_{n} of size ≥ ν_{n} for all n ∈ ω. ⋃_{n∈ω} A_{n} is then an antichain below p of size ≥ ν. ]

To show (†), let p_{m,ξ} ≤ q be such that p_{m,ξ} ∥–_{P} “ ḟ(m) = ξ ” (or undefined if there is no such p_{m,ξ}) for all m ∈ ω and ξ < ν. Let

A_{m} = {p_{m,ξ} : ξ < ν, p_{m,ξ} is defined}

for all m ∈ ω. Clearly A_{m} is an antichain below q and | ⋃_{m∈ω} A_{m} | = ν (note that for all ξ < ν there is some m ∈ ω such that p_{m,ξ} is defined). Hence there is an m ∈ ω such that | A_{m} | ≥ ν_{n}.

Case II: cf(ν) > ω. The proof in this case is similar to and easier than Case I.

⊣ (Claim 30.1)

Let

D_{α} = {p ∈ Col(ω, {α}) : ∃n ∈ ω (p : {α} × n → α)}.

D_{α} is dense in Col(ω, {α}). Let ġ be a P -name of a surjection from ω onto V -generic G over P (note that | P | ≤ | α |). For n ∈ ω let D_{α,n} = {p ∈ D_{α} : | p | = n}. Thus D_{α} = ⋃_{n∈ω} D_{α,n}.

We define inductively a dense embedding e of D_{α} into P as follows.

Let e(∅) = 1_{P}. Suppose that e is defined on D_{α,n}. For each p ∈ D_{α,n}, let ⟨a_{ξ}^{p} : ξ < α⟩ be an injective enumeration of a maximal antichain in P |` e(p) such that each a_{ξ}^{p} decides ġ(n) (this is possible by Claim 30.1). Let

e(p ∪ {⟨α, n⟩, ξ}) = a_{ξ}^{p}.

By construction of a_{ξ}^{p} ’s, we have:

Claim 30.2 {a_{ξ}^{p} : p ∈ D_{α,n}, ξ < α} is a maximal antichain in P for all n ∈ ω.

Now we are done by showing that e′′D_{α} is dense in P: For r ∈ P, we have r ∥–_{P} “ r ∈ Ġ ”. Hence there are s ≤_{P} r and n ∈ ω such that s ∥–_{P} “ ġ(n) = r ”. By Claim 30.2, there is a p ∈ D_{α,n} such that e(p) is compatible with s. As e(p) also desides ġ(n), we have e(p) ∥–_{P} “ ġ(n) = r ”. Hence e(p) ∥–_{P} “ r ∈ Ġ ”. By separability of P, it follows that

e(p) ≤ r. (Lemma 30)

With the same proof, we can actually show the following more general statement:

Lemma 31 Suppose that λ is a cardinal, α ≥ λ, λ^{<| α |} and P is a separative <λ-closed p.o. such that | P | ≤ | α | and

∥–_{P} “ ∃f (f is a surjection from λ onto α ∧ f ∉ V) ”

Then there is a dense embedding of a dense subset of Col(λ, {α}) into P. Hence we have r.o.(P) ≅ r.o.(Col(λ, {α})).

Corollary 32 C10.20 (a) For any α ≥ ω, r.o.(Col(ω, {α})) ≅ r.o.(Col(ω, α + 1)).

(b) For any α ≥ ω, r.o.(Col(ω, κ)) ≅ r.o.(Col(ω, κ \ α)).

7.2 Weakly compact cardinal

Theorem 33 For a cardinal κ, the following are equivalent: hanf-scott (1) κ is weakly compact.

(2) (Hanf-Scott, see Theorem 6.4 in Kanamori [7]) κ is Π_{1}^{1}-indescribable (i.e. for any R ⊆ V_{κ} and any Π_{1}^{1}-sentence φ in L_{ZF}, if ⟨V_{κ}, ∈, R⟩ ⊧ φ then there is an α < κ such that ⟨V_{α}, ∈, R ∩ V_{α}⟩ ⊧ φ).

(3) κ is uncountable and κ → (κ)_{2}^{2} holds i.e. for any f : [κ]^{2} → 2 there is H ∈ [κ]^{κ} such that f′′[H]^{2} is a singleton.

The proofs of the following propositions use these characterizations of the weak compactness.

Proposition 34 Suppose that κ is weakly compact. wc-levy

(a) If B is a < κ-c.c. complete Boolean algebra, then for any X ∈ [B]^{<κ}, the complete subalgebra [X]_{B}^{cm} of B generated from X has cardinality < κ.

(b) For a Col(ω, κ)-name Ṗ such that

∥–_{Col(ω,κ)} “ Ṗ is a c.c.c. p.o. ”

and X ⊆ Col(ω, κ) ∗ Ṗ with | X | < κ, there is a regular subordering Q ≤^{∘} Col(ω, κ) ∗ Ṗ of the form Col(ω, α) ∗ Ṙ for some α < κ such that X ⊆ Q and | Q | < κ.

Proof We prove (b). The proof of (a) can be done similarly. Since Col(ω, κ) ∗ Ṗ has the < κ-c.c. we can find a Col(ω, κ)-name Ṗ′ such that Col(ω, κ)∗Ṗ′ is a regular subordering of Col(ω, κ)∗Ṗ of cardinality ≤ κ and X ⊆ Col(ω, κ)∗Ṗ′. Without loss of generality, we may assume that Ṗ′, ≤Ṗ′⊆ V_{κ} and hence Col(ω, κ) ∗ Ṗ′, ≤_{Col(ω,κ)∗Ṗ′} ⊆ V_{κ}. Then X ∈ V_{κ} as | X | < κ. Let

\begin{matrix}R = & R_{1} × R_{2} × R_{3} × R_{4} \\ = & Col(ω, κ) ∗ Ṗ′× ≤_{Col(ω,κ)∗Ṗ′} ×\{X\} × \{⟨α, \{A_{α}\}⟩ : α < κ\} \end{matrix}

where ⟨A_{α} : α < κ⟩ is an enumeration of maximal antichains in Col(ω, κ) ∗ Ṗ′. Note that A_{α} ∈ V_{κ} by <κ-c.c. of Col(ω, κ) ∗ Ṗ. Now consider the Π_{1}^{1}-formula ψ which asserts:

R_{1} with R_{2} is a partial ordering of the form Col(ω, On) ∗ something,

R_{3} is non-empty,

For any maximal antichain A of (R_{1}, R_{2}) there is an α ∈ On such that A is the unique element of R_{4}(α).

Applying Theorem 33, we can find α < κ such that ⟨V_{α}, R∩V_{α}⟩ ⊧ ψ. The subordering ⟨R_{1} ∩ V_{α}, R_{2} ∩ V_{α}⟩ of Col(ω, κ) ∗ Ṗ′ is then as desired. (Proposition 34)

Proposition 35 Suppose that κ is weakly compact. If P and Q are <κ-c.c. p.o.s then wc-prod P × Q has the <κ-c.c.

Proof By (3) of Theorem 33

7.3 Main theorems

7.4 Main theorems

Theorem 36 (K. Kunen, [?])Suppose that κ is weakly compact, G a V -generic filter over projabs1 Col(ω, κ) and H a V [G]-generic filter over a c.c.c. p.o. P in V [G]. Then we have

B^{V [G]} ≺ B^{V [G][H]}.

Proof It is enough to show the following assertion for all n ∈ ω by induction on n ∈ ω:

(†)_{n} For any V -generic G over Col(ω, κ), L_{proj}-formula φ of quantifier rank ≤ n and a_{1},…, a_{n} ∈ ^{ω}ω ∩ V [G], V [G] ⊧ B ⊧ φ[a_{1}, …, a_{n}] if and only if for some/any p.o. P ∈ V [G] which is c.c.c. in V [G] and V [G]- generic H over P, V [G][H] ⊧ B ⊧ φ[a_{1}, …, a_{n}].

The crucial point in an induction step is to prove the following assertion:

(∗)_{n} Suppose that (†)_{n} holds. For any V -generic G over Col(ω, κ), L_{proj}-formula φ = φ(x_{0}, x_{1}, …, x_{n}) of quantifier rank n and a_{1},…, a_{n} ∈ ^{ω}ω ∩ V [G], if V [G][H] ⊧ B ⊧ ∃x_{0} φ[x_{0}, a_{1}, …, a_{n}] for some V [G]-generic H over a c.c.c. p.o. P ∈ V [G] then V [G] ⊧ B ⊧ ∃x_{0}φ[x_{0}, a_{1}, …, a_{n}].

To prove (∗)_{n}, suppose that (†)_{n} holds and G, φ, a_{1},…, a_{n}, P, H are as in (∗)_{n}. Let Ṗ be a Col(ω, κ)-name of P. By Proposition 34, (a), Corollary 32, (b) and since (Col(ω, κ) ∗ Ṗ)|` p is equivalent^{17} to Col(ω, κ) ∗ something for any p ∈ Col(ω, κ) ∗ Ṗ, we may assume that a_{1},…, a_{n} ∈ V and

∥–_{Col(ω,κ)∗Ṗ} “ B ⊧ ∃x_{0} φ[x_{0}, ǎ_{1}, …, ǎ_{n}] ”.

Let ȧ_{0} be a Col(ω, κ) ∗ Ṗ -name such that

∥–_{Col(ω,κ)∗Ṗ} “ B ⊧ φ[ȧ_{0}, ǎ_{1}, …, ǎ_{n}] ”.

By Proposition 34, (b), there is a regular subordering Q of Col(ω, κ) ∗ Ṗ of the form Col(ω, α) ∗ Ṙ such that ȧ_{0} is a Q-name and | Q | = | α | < κ. Let G_{0} = G ∗ H ∩ Q. Then there is a Col(ω, κ \ α)-name Ṡ of a c.c.c. p.o. in V [G_{0}] and V [G_{0}]-generic G_{1} ∗ H_{1} over Col(ω, κ \ α) ∗ Ṡ such that V [G][H] = V [G_{0}][G_{1}][H_{1}]. In particular, V [G_{0}][G_{1}][H_{1}] ⊧ B ⊧ φ[ȧ_{0}^{G_{0}}, a_{1}, …, a_{n}]. Since Col(ω, κ \ α) is equivalent to Col(ω, κ), it follows by induction hypothesis that V [G_{0}][G_{1}] ⊧ B ⊧ φ[ȧ_{0}^{G_{0}}, a_{1}, …, a_{n}]. Since V [G_{0}][G_{1}] is a generic extension of V by a generic filter over Col(ω, κ), it follows by homogeneity of Col(ω, κ) that

17 Here, we say p.o.s P and P′ are (forcing) equivalent (notation: P ∼ P′) if they are co-complete, i.e.

if r.o.(P) ≅ r.o.(P′).

∥–_{Col(ω,κ)} “ B ⊧ ∃x_{0}φ[x_{0}, ǎ_{1}, …, ǎ_{n}] ”.

(Theorem 36)

Theorem 37 Suppose that κ is a weakly compact cardinal. Let P = Col(ω, κ) and Q̇ be a P -name for a c.c.c p.o.-set and Ṙ a P ∗Q̇-name for a c.c.c. p.o.-set. Suppose that G is a V -generic filter over P, H a V [G]-generic filter over Q̇^{V [G]} and F a V [G][H]-generic filter over Ṙ^{V [G][H]}.

Then we have:

B^{V [G]} ≺ B^{V [G][H]} ≺ B^{V [G][H][F]}.

Proof The first “≺” is just Theorem 36. For the second “≺”, let a_{1},…, a_{n} ∈ ^{ω}ω ∩ B^{V [G][H]} and φ a formula such that

V [G][H][F] ⊧ B ⊧ φ[a_{1}, …, a_{n}].

We show that V [G][H] ⊧ B ⊧ φ[a_{1}, …, a_{n}]. Let ȧ_{1},…, ȧ_{n} be P ∗Q̇-names for a_{1},…, a_{n}. For X ⊆ κ, let F_{X} denotes the p.o. Col(ω, X). So P = P_{κ}.

By Proposition 34,(b), we can find α < κ and P_{α}-name Q̇_{1} of a p.o. such that P_{α} ∗ Q̇_{1} ≤^{∘} P ∗ Q̇, | P_{α} ∗ Q̇_{1} | < κ and ȧ_{1},…, ȧ_{n} are all P_{α} ∗ Q̇_{1}-names. Then P ∗ Q̇ is equivalent to P_{α} ∗ Q̇_{1} ∗ P_{κ\α} ∗ Ṡ over P_{α} ∗ Q̇_{1} for some P_{α} ∗ Q̇_{1} ∗ P_{κ\α}-name Ṡ of a c.c.c. p.o.-set. Hence P ∗ Q̇ ∗ Ṙ is equivalent to P_{α} ∗ Q̇_{1} ∗ P_{κ\α} ∗ Ṡ ∗ Ṙ′ where Ṙ′ is a P_{α} ∗ Q̇_{1} ∗ P_{κ\α} ∗ Ṡ-name of a c.c.c. p.o.-set corresponding to Ṙ.

Let U_{1} be a V -generic filter over P_{α} ∗ Q̇_{1} ∗ P_{κ\α}, U_{2} a V [U_{1}]-generic filter over Ṡ^{V [U_{1}]} and U_{3} a V [U_{1}][U_{2}]-generic filter over Ṙ^{′V [U_{1}][U_{2}]} such that:

V [G ∗ H ∩ P_{α} ∗ Q̇_{1}] ⊆ V [U_{1}] ⊆ V [U_{1}][U_{2}] = V [G][H] ⊆ V [U_{1}][U_{2}][U_{3}] = V [G][H][F]. Now since P_{α} ∗ Q̇_{1} ∗ P_{κ\α} is equivalent to Col(ω, κ) and V [U_{1}][U_{2}][U_{3}] is an extension of V [U_{1}] by a generic filter over a c.c.c. p.o.-set, it follows from Theorem 36 and V [U_{1}][U_{2}][U_{3}] ⊧ A ⊧ φ[a_{1}, …, a_{n}] that

V [U_{1}] ⊧ A ⊧ φ[a_{1}, …, a_{n}] .

Hence, again by Theorem 36

V [U_{1}][U_{2}] ⊧ A ⊧ φ[a_{1}, …, a_{n}] .

(Theorem 37)

Corollary 38 If consis(ZFC + ∃ a weakly compact cardinal), then consis(ZFC + MA + ¬CH + projective absoluteness for c.c.c. p.o.s), consis(ZFC + P(ω) has the WFN + ¬CH + projective absoluteness for c.c.c. p.o.s), etc.

Theorem 39 (J. Bagaria, Sy Friedman, [3]) If Σ_{4}^{1}-absoluteness for c.c.c. p.o.s holds then projabs2

                                                                                                                        bagaria-friedman-x

ω_{1} is weakly compact in L.

7.5 Measure and category under projective absoluteness

Theorem 40 Suppose that strong projective absoluteness for c.c.c. p.o.s holds. Then: q-m (a) every projective set is measurable.

(b) every projective set has Baire property.

(c) every projective set has Ramsey property.

Proof (a): Suppose that X ⊆ ^{ω}ω is a projective set with X = {b ∈ ^{ω}ω : B ⊧ φ[ā, b]} for a fomula φ and ā ∈ ^{ω}ω where B is as at the beginning of this section.

Let P be a c.c.c. p.o. such that

∥–_{P} “ add(measure) > (2^{ℵ_{0}})^{V} ”

and G a V -generic filter over P. Since the assertion “φ[ā, ·] defines a measurable set” can be formulated as a formula in the language of B, it is enough by projective absoluteness to show that

X^{∗} = {b ∈ (^{ω}ω)^{V [G]} : B^{V [G]} ⊧ φ[ā, b]}

is measurable in V [G].

In the following, we work in V [G]:

Claim 40.1 Z^{∗} = {x ∈ ^{ω}ω : x is not random over V } is a null set.

⊢ Note that

x is not random over V ⇔

there is a null-set Z coded by some y ∈ (^{ω}ω)^{V} such that x ∈ Z

Hence we have

Z^{∗} = ⋃{Z ⊆ ^{ω}ω : Z is a null-set coded by some y ∈ (^{ω}ω)^{V} }.

The left side is the union of (2^{ℵ_{0}})^{V} null-sets. Since add(measure) > (2^{ℵ_{0}})^{V} , it follows that the union is still a null-set. ⊣ (Claim 40.1) By the claim above, it is enough to show that

X^{∗∗} = X^{∗} ∩ {x ∈ ^{ω}ω : x is random over V }

is a measurable set.

Suppose that x ∈ X^{∗∗}. x is then random over V. Hence there is a V -generic filter H_{x} over the random p.o. R (= B^{∗} in [7]) such that ⋂{U^{V [G]} : U ∈ H_{x}} = {x} where U^{V [G]} denotes the closed set in V [G] corresponding to the closed set U in V. By x ∈ X^{∗}, there is a closed set U in V such that U ∥–_{R} “ B^{V [Ġ]} ⊧ φ[ā, ẋ] ” where ẋ is the satndard name of the B-generic real x. Conversely, if y is random over V such that y ∈ U^{V [G]} for U as above, then clearly we have y ∈ X^{∗∗}. Hence

X^{∗∗} = ⋃{U^{V [G]} : U is a closed set in V such that U ∥–_{R} “ B^{V [Ġ]} ⊧ φ[ā, ẋ] ”}∩(^{ω}ω\Z^{∗}).

The set ⋃{ ⋯ } on the right side of the equation is the union of (2^{ℵ_{0}})^{V} measurable sets. Hence X^{∗∗} is also measurable. (Theorem 40)

8 Two step iteration

この節では Kunen による projective absoluteness の結果の証明の細部で用いた議論の基礎付けのチェックを行う．

Q ≤^{∘} P とする^{18} . G を V -generic over Q として， p, q ∈ P に対し，

p ≤_{P,G} q ⇔ ∃g ∈ G∀r ≤ p (r ⊥ q → r ⊥ g)

(つまり “p · −q” は G の意味で無視できる) とし， P_{G}^{0} = {p ∈ P : ∃g ∈ G (p ⊥ g)}, P_{G}^{+} = P \ P_{G}^{0} とする．

まず復習から：

Lemma 41 P, Q を p.o.s として， Q ≤ P とする．このとき，

Q ≤^{∘} P ⇔ 任意の Q の predense subset は P でも predense.

Proof “⇒”: Q ≤^{∘} P を仮定する． D ⊆ Q で D が P で predense でなかったとすると， p ∈ P で D のどの元とも compatible でないようなものが存在する． q を p の Q への reduction とする．このとき， d ∈ D で q と compatible なものがあったとすれば， r ∈ Q を r ≤_{Q} d, q となるようにとると， r ⊥̸ p となるから， d ⊥̸ p となってしまい， p のとり方に矛盾する．したがって， D は Q でも predense でない．

“⇐”: Q ≤^{∘} P でなかったとすると， p ∈ P で次を満たすものがある: どんな q ∈ Q に対しても r ∈ Q で r ≤ q ∧ r ⊥ p となるようなものが存在する．このとき

D = {r ∈ Q : r ⊥ p}

とすれば， D は Q で dense したがって predense となるが， p ∈ P により， D は P では predense でない． (Lemma 41)

以下では Q ≤^{∘} P を常に仮定する．

Lemma 42 p ∈ P, q ∈ Q とするとき， q-x

q ∥–_{Q} “ p ∈ P + ; Ġ ” ⇔ q は p の Q への reduction.

Proof “⇒”: q が p の Q への reduction でなかったとすると， r ∈ Q で r ≤ q ∧ r ⊥ p となるものが存在する．ところが， r ∥–_{Q} “ ∃s ∈ Ġ (s ⊥ p) ” となるから， r ∥–_{Q} “ p ∉ P + ; Ġ ” となるから， q ∦–_{Q} “ p ∈ P + ; Ġ ” である．

“⇒”: q / ∥–_{Q} “ p ∈ P + ; Ġ ” とすると， r ≤_{Q} q で r ∥–_{Q} “ p ∈ P 0 ; Ġ ” となるものがある．したがって， s ∈ Q, s ⊥̸ r で p ⊥ s となるものが存在する．このとき s ≤ r としてよい．

s ≤ q だから， q は p の Q への reduction ではないことがわかる． (Lemma 42)

Lemma 43 (a) q ∈ Q として， q ∥–_{Q} “ p, p′ ∈ P + ; Ġ ∧ p ≤_{P,Ġ} p′ ” なら， q^{∗} ∈ P で， q-a

q^{∗} ≤ q, p, p′ となるものが存在する．

(b) q ∈ Q として， q ∥–_{Q} “ p, p′, p′′ ∈ P + ; Ġ ∧ p ≤_{P,Ġ} p′, p′′ ” なら， q^{∗} ∈ P で，

q^{∗} ≤ q, p, p′, p′′ となるものが存在する． Proof (a) は (b) の特別な場合と見なせるから， (b) を証明すれば十分である．

18 Q ≤^{∘} P ⇔ ∀q, q′ ∈ Q(q ⊥_{Q} q′ ↔ q ⊥_{P} q′) and ∀p ∈ P ∃q ∈ Q∀r ∈ Q (r ≤ q → r ⊥̸ p). p ∈ P に対し， ∀r ∈ Q (r ≤ q → r ⊥̸ p) となるような q ∈ Q を p の Q への reduction と呼ぶ． “a reduction” であることに注意．

q ∥–_{Q} “ p ≤_{P,Ġ} p′, p′′ ” により，

q ∥–_{Q} “ ∃g ∈ Ġ∀r ≤_{P} p ((r ⊥ p′ → r ⊥ g) ∧ (r ⊥ p′′ → r ⊥ g)) ”

が成り立つ．したがって q′ ∈ Q, q′ ≤ q で

(∗) ∀r ≤_{P} p ((r ⊥ p′ → r ⊥ q′) ∧ (r ⊥ p′′ → r ⊥ q′))

となるものがある． Lemma 42 により q′ ⊥̸ p だから， p^{†} ≤_{P} q′, p となるような p^{†} ∈ P がとれる． p^{†} ≤_{P} p で， p^{†} ≤_{P} q′ により p^{†} ⊥̸ q′ だから， (∗) により， p^{†} ⊥̸ p′ となる．したがって， p^{‡} ≤_{P} p^{†}, p′ がとれる．同様に， p^{‡} ≤_{P} p で， p^{‡} ≤_{P} q′ により p^{‡} ⊥̸ q′ だから， (∗) により， p^{‡} ⊥̸ p′′ となる．したがって， p^{∗} ≤_{P} p^{‡}, p′′ となる p^{∗} ∈ P がとれるが，これが求めるようなものとなっている． (Lemma 43)

Lemma 44 p ∈ P, q ∈ Q で p ≤_{P} q とする． q-b

q^{∗} ∈ Q を p の Q への任意の reduction とする．このとき， p の reduction q^{∗∗} で q^{∗∗} ≤_{P} q^{∗}, q となるものが存在する．

Proof q^{∗} を p の reduction とすると， ∀r ∈ Q (r ≤_{Q} q^{∗} → r ⊥̸ p) である．特に， q^{∗} ⊥̸ p だから， q^{∗} ⊥̸ q である． q^{∗∗} ∈ Q を q^{∗∗} ≤_{Q} q^{∗}, q となるようにとれば， q^{∗} はふたたび p の reduction となるから，これが求めるようなものとなっている． (Lemma 44)

Lemma 45 P を p.o. として p, q ∈ P とし， q-c

∀r ∈ P (r ≤_{P} p → r ⊥̸ q)

となっているとする． G が V -generic filter over P で p ∈ G のとき， q ∈ G である．

Proof

D = {r ∈ P : (r ≤_{P} p ∧ r ≤_{P} q) ∨ (r ⊥ p ∧ r ≤_{P} q) ∨ (r ⊥ p ∧ r ⊥ q)}

とする．仮定から r ≤_{P} p ∧ r ⊥ q となるような r ∈ P は存在しないから， D は P で open dense であることがわかる． r ∈ D ∩ G として， r′ ≤_{P} r, p とすると， r ∈ D で r′ ≤_{P} p だから， r ≤_{P} q となる．したがって q ∈ G である． (Lemma 45)

p, q ∈ P に対し， p ∼_{P} q ⇔ ∀r ∈ P (r ⊥ p ↔ r ⊥ q) とする．

Corollary 46 p, q ∈ P で， p ∼_{P} q とする．このとき，任意の V -generic filter G over P に対し， p ∈ G ⇔ q ∈ G となる．

Lemma 47 G ⊆ P が q-d (a) G は上方向に閉じている；

(b) G の元は互いに compatible ；

(c) 任意の open dense な D ⊆ P, D ∈ V に対し， D ∩ G ≠ ∅,

を満たすとする．このとき G は V -generic filter over P となる． Proof p, q ∈ G に対し， r ∈ G で r ≤ p, q となるものが存在することを言えばよい．

D = {r ∈ P : (r ≤ p ∧ r ≤ q) ∨ (r ≤ p ∧ r ⊥ q) ∨ (r ⊥ p ∧ r ≤ q) ∨ (r ⊥ p ∧ r ⊥ q)}

とすれば，明らかに D は P で open dense となるから， (c) により， r ∈ D ∩ G がとれる．このとき， (b) により， r ≤ p ∧ r ≤ q が成り立たなければならないことがわかる．

(Lemma 47)

Theorem 48 (a) G̃ を V -generic over P とする．このとき， G = G̃ ∩ Q は V -generic over Q となり， G̃ は V [G]-generic over ⟨P_{G}^{+}, ≤_{P,G}⟩ となる．また， V [G̃] = V [G][G̃] である．

(b) G を V -generic over Q として， G̃ を V [G]-generic over ⟨P_{G}^{+}, ≤_{P,G}⟩ とするとき， G = G̃ ∩ Q となり， G̃ は V -generic over P となる．

Proof (a): まず G = G̃ ∩ Q が V -generic filter over Q となることを示す． G が Lemma 47 の (a), (b) を満たすことは明らかだから，任意の open dense な D ⊆ Q, D ∈ V に対し， G ∩ D ≠ ∅ となることを示せばよい．

D̃ = {p ∈ P : p ≤ q for some q ∈ D}

とすれば， D̃ は P で dense となる: r ∈ P を任意にとるとき， q を r の Q への reduction とする． D は Q で dense だから， q ∈ D としてよい．このとき q ⊥̸ r だから， p ≤ q, r が存在するが， p ∈ D̃ である．

したがって， G̃ の genericity から g ∈ G̃ ∩ D̃ がとれるが， D̃ の定義から q ∈ D で g ≤ q となるものが存在する．このとき q ∈ G ∩ D である．

次に G̃ が V [G]-generic over P_{G}^{+} となることを示す． g̃ ∈ G̃ なら， g̃ はすべての g ∈ G と compatible になるから， G̃ ⊆ P_{G}^{+} である． p̃, q̃ ∈ G̃ なら， r̃ ≤_{P} p̃, q̃ となる r̃ ∈ G̃ があるが，このとき r̃ ∈ P_{G}^{+} で， r̃ ≤_{P,G} p̃, q̃ である．

p̃ ∈ G̃, q̃ ∈ P_{G}^{+} で p̃ ≤_{P,G} q̃ なら q̃ ∈ G̃ となる: p̃ ≤_{P,G} q̃ により， g ∈ G で ∀r ≤ p̃ (r ⊥ q̃ → r ⊥ g) となるものがある． r̃ ∈ G̃ を r̃ ≤_{P} g, p̃ となるようにとる．任意の r ≤ r̃ に対し， r ≤_{P} p̃ かつ r ≤_{P} g だから， r ⊥̸ g となり，したがって r ⊥̸ q̃ である．したがって， Lemma 45 により q̃ ∈ G̃ である．

Ḋ を Q-name で ∥–_{Q} “ Ḋ is an open dense subset of P + ; Ġ ” とする．このとき， Ḋ^{V [G]} ∩ G̃ ≠ ∅ が言えればよい．

D = {p ∈ P : q ∥–_{Q} “ p ∈ Ḋ ” for all reduction q ∈ Q of p}

とする．

Claim 48.1 D は P の dense subset である．

⊢ p_{0} ∈ P として q_{0} を p_{0} の Q への reduction とする． Lemma 42 により q_{0} ∥–_{Q} “ p_{0} ∈

P + ; Ġ ” となるから， q_{1} ∈ Q, q_{1} ≤_{Q} q_{0} と p_{1} ∈ P で，

q_{1} ∥–_{Q} “ p_{1} ≤_{P,Ġ} p_{0} ∧ p_{1} ∈ Ḋ ”

となるものが存在する． Lemma 43(a) により， p_{2} ∈ P で p_{2} ≤ q_{1}, p_{1}, p_{0} となるものが存在する．このとき p_{2} ∈ D であることが言えれば証明が完了する: q を p_{2} の reduction とする．もし q / ∥–_{Q} “ p_{2} ∈ Ḋ ” とすれば， q′ ∈ Q, q′ ≤_{Q} q で q′ ∥–_{Q} “ p_{2} ∉ Ḋ ” となるものがとれるが， q′ は p_{2} の reduction だから， Lemma 44 により q′′ ∈ Q で q′′ ≤_{Q} q′, q_{1} となるものがとれる． q_{1} ∥–_{Q} “ p_{1} ∈ Ḋ ” と p_{2} ≤ p_{1} により， q′′ ∥–_{Q} “ p_{2} ∈ Ḋ ” となる．ところが， q′′ ≤_{Q} q′ だから， q′′ ∥–_{Q} “ p_{2} ∉ Ḋ ” だからこれは矛盾である． ⊣ (Claim 48.1)

上の Claim と G̃ の genericity により D ∩ G̃ ≠ ∅ となるから p ∈ D ∩ G̃ とすれば， Lemma 45(b) により， p の Q への reduction q で q ∈ G となるものが存在する． D の定義から， q ∥–_{Q} “ p ∈ Ḋ ” だから， p ∈ Ḋ^{V [G]} である．

(b): g ∈ G とすると 1_{P} ≤_{P,G} g となるから g ∈ G̃ である．したがって， G ⊆ G̃ である． p ∈ Q \ G なら g ∈ G で p ⊥ g となるものがあるから， p ∈ P_{G}^{0} となり p ∉ G̃ である．したがって G̃ ∩ Q = G がわかる．

次に G̃ が V -generic filter over P であることを示す． G̃ が ≤_{P} に関し上方向に閉じていることは明らかである． g̃, g̃′ ∈ G̃ なら， G̃ が P_{G}^{+} 上の filter であることから， g̃′′ ∈ G̃ で， g̃′′ ≤_{P,G} g̃, g̃′ となるものが存在する．したがって Lemma 43(b) により p̃ ≤_{P} g̃, g̃′ となるような p̃ ∈ P が存在する．よって， Lemma 47 により，任意の open dense な D ∈ V, D ⊆ P に対し， D ∩ G̃ ≠ ∅ が言えれば G̃ が P 上 V -generic filter であることが帰結できる．

このためには D̃ = D ∩ P_{G}^{+} が P_{G}^{+} で ≤_{P} の意味で dense になることを示せば十分である: D̃ が P_{G}^{+} で ≤_{P} の意味で dense でなかったとすると， p ∈ P_{G}^{+} で D ∩ P |` p ⊆ P_{G}^{0} となるものが存在する．したがって，各 r ∈ D ∩ P |` p に対し， g_{r} ∈ G で r ⊥ g_{r} となるものが存在する．

E = {q ∈ Q : q is either a reduction of some r ∈ D ∩ |` p or q ⊥ p}

とすると E は Q で dense となる． p ∈ P_{G}^{+} だから， q ∈ G ∩ E をとると q はある r ∈ D ∩ P |` p の reduction でなくてはならない．ところが r ⊥ g_{r} だから q ⊥ g_{r} となって

しまい矛盾である． (Theorem 48)

Two step iteration の定義について復習しておく： P を p.o. として， ∥–_{P} “ Q̇ is a p.o. ” とする．このとき，

\begin{aligned}α_{P} = min\{β : ∀p ∈ P ∀q̇ ∈ V^{P} ( & p ∥–_{P} “ q̇ ∈ Q̇ ” → \\ & ∃q̇′ ∈ V^{P} ∩ V_{β} (p ∥–_{P} “ q̇ = q̇′ ”))\} \end{aligned}

として，

P ∗ Q̇ = {⟨p, q̇⟩ : p ∈ P, q̇ ∈ V^{P} ∩ V_{α_{P}} , p ∥–_{P} “ q ∈ Q̇ ”}

上の半順序を，

⟨p_{1}, q_{1}⟩ ≤ ⟨p_{2}, q_{2}⟩ ⇔ p_{1} ≤_{P} p_{2} ∧ p_{1} ∥–_{P} “ q̇_{1} ≤Q̇ q̇_{2} ”

で定義する． R を P ∗ Q̇ の

{⟨p, q̇⟩ ∈ P ∗ Q̇ : ∥–_{P} “ q̇ ∈ Q̇ ”}

への制限とする．このとき， Lemma 49 P ∗ Q̇ ∼ R.

Proof ⟨p, q̇⟩ ∈ P ∗ Q̇ としたとき， ⟨p′, q̇′⟩ ∈ R で ∀t ∈ P ∗ Q̇ (t ⊥ ⟨p, q⟩ ↔ t ⊥ ⟨p′, q′⟩) となるものが存在することを言えばよい．

q̇′ を， p ∥–_{P} “ q̇′ = q̇ ” で，任意の r ⊥ p となる r ∈ P に対し， r ∥–_{P} “ q̇′ = 1Q̇ ” となるような P -name とする．このとき， ∥–_{P} “ q̇′ ∈ Q̇ ” だから， ⟨p, q̇′⟩ ∈ R となるが，これが求めるものである． (Lemma 49) したがって， P ∗ Q̇ の定義での p ∥–_{P} “ q ∈ Q̇ ” は ∥–_{P} “ q̇ ∈ Q̇ ” で置き換えてもよい．

次の２つの Lemmas では， P = P_{1} × P_{2} として， G_{1} を V -generic filter over P_{1} とする． p.o. P に対する P -names は Kunen の本でのように定義されているものとする． V での P -name ȧ に対し， V [G_{1}] での P_{2}-name π_{G_{1}}(ȧ) を，

π_{G_{1}}(ȧ) = {⟨π_{G_{1}}(ḃ), p_{2}⟩ : ∃p_{1} ∈ G_{1} (⟨ḃ, ⟨p_{1}, p_{2}⟩⟩ ∈ ȧ)}

により recursive に定義する．このとき，

Lemma 50 任意の V [G_{1}]-generic filter G_{2} over P_{2} と P -name ȧ に対し， V [G_{1}][G_{2}] で，

                                                                                                                        q-f

ȧ^{V [G_{1}×G_{2}]} = (π_{G_{1}}(ȧ))^{(V [G_{1}])[G_{2}]}

が成り立つ．

Proof ȧ の rank に関する帰納法により示す：

ȧ^{V [G_{1}×G_{2}]} = {ḃ^{V [G_{1}×G_{2}]} : ⟨ḃ, ⟨p_{1}, p_{2}⟩⟩ ∈ ȧ for some ⟨p_{1}, p_{2}⟩ ∈ G_{1} × G_{2}}
= {π_{G_{1}}(ḃ)^{(V [G_{1}])[G_{2}]} : ⟨π_{G_{1}}(ḃ), p_{2}⟩ ∈ π_{G_{1}}(ȧ) for some p_{2} ∈ G_{2}}
= (π_{G_{1}}(ȧ))^{(V [G_{1}])[G_{2}]} .

(Lemma 50)

Lemma 51 p_{2} ∈ P_{2}, P -names ȧ_{1},…, ȧ_{n} と formula φ に対し， q-g

p_{2} ∥–_{P_{2}} “ φ(π_{G_{1}}(ȧ_{1}), …, π_{G_{1}}(ȧ_{n})) ” ⇔ ∃p_{1} ∈ G_{1} ⟨p_{1}, p_{2}⟩ ∥–_{P} “ φ(ȧ_{1}, …, ȧ_{n}) ”.

Proof まず， p_{2} ∥–_{P_{2}} “ φ(π_{G_{1}}(ȧ_{1}), …, π_{G_{1}}(ȧ_{n})) ” を仮定する．すべての p_{1} ∈ G_{1} に対し， ⟨p_{1}, p_{2}⟩ / ∥–_{P} “ φ(ȧ_{1}, …, ȧ_{n}) ” だったとすると， p_{1} ∈ G_{1} と p′_{2} ∈ P_{2}, p′_{2} ≤_{P_{2}} p_{2} で，

(∗) ⟨p_{1}, p′_{2}⟩ ∥–_{P} “ ¬φ(ȧ_{1}, …, ȧ_{n}) ”

となるものがとれる． G_{2} を V [G_{1}]-generic filter over P_{2} で， p′_{2} ∈ G_{2} となるものとすると， G_{1} × G_{2} は V -generic over P で V [G_{1} × G_{2}] = V [G_{1}][G_{2}] だから，仮定から，

V [G_{1}][G_{2}] ⊧ φ[(π_{G_{1}}(ȧ_{1}))^{(V [G_{1}])[G_{2}]}, …, (π_{G_{1}}(ȧ_{n}))^{(V [G_{1}])[G_{2}]}]

となる．ところが， (∗) により，

V [G_{1}][G_{2}] ⊧ ¬φ[ȧ_{1}^{V [G_{1}×G_{2}]}, …, ȧ_{n}^{V [G_{1}×G_{2}]}]

である． Lemma 50 によりこれは矛盾である．

次に， p_{1} ∈ G_{1} で ⟨p_{1}, p_{2}⟩ ∥–_{P} “ φ(ȧ_{1}, …, ȧ_{n}) ” となるものがあると仮定する． V [G_{1}] で， p_{2} / ∥–_{P_{2}} “ φ(π_{G_{1}}(ȧ_{1}), …, π_{G_{1}}(ȧ_{n})) ” だとすると， p′_{2} ≤_{P_{2}} p_{2} で， (†) p′_{2} ∥–_{P_{2}} “ ¬φ(π_{G_{1}}(ȧ_{1}), …, π_{G_{1}}(ȧ_{n})) ”

となるものがとれる． G_{2} を V [G_{1}]-generic filter over P_{2} で p′_{2} ∈ G_{2} となるものとすると，仮定により，

V [G_{1}][G_{2}] ⊧ φ[π_{G_{1}}(ȧ_{1}), …, π_{G_{1}}(ȧ_{n})]

となるが，一方 (†) により，

V [G_{1}][G_{2}] ⊧ ¬φ[π_{G_{1}}(ȧ_{1})^{(V [G_{1}])[G_{2}]}, …, π_{G_{1}}(ȧ_{n})^{(V [G_{1}])[G_{2}]}]

となる． Lemma 50 により，これは矛盾である． (Lemma 51)

Lemma 52 ⟨p, q̇⟩, ⟨p′, q̇′⟩ ∈ P ∗ Q̇ とするとき， ∃p′′ ≤_{P} p, p′ (p′′ ∥–_{P} “ q̇ ⊥̸_{Q} q̇′ ”) ⇔ q-h ⟨p, q̇⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨p′, q̇′⟩ となる．

Proof “⇒”: 仮定から， p′′′ ≤_{P} p′′ と P -name q̇′′ を p′′′ ∥–_{P} “ q̇′′ ≤_{P} q̇, q̇′ ” となるようにとれるが，このとき， ⟨p′′′, q̇⟩ ≤_{P ∗Q̇} ⟨p, q̇⟩, ⟨p′, q̇′⟩ である．

“⇐”: ⟨p′′, q̇′′⟩ ≤ ⟨p, q̇⟩, ⟨q̇′⟩ とすると， p′′ ≤_{P} p, p′ で p′′ ∥–_{P} “ q̇′′ ≤Q̇ ”q̇, q̇′ だから， p′′ ∥–_{P} “ q̇ ⊥̸Q̇ q̇′ ” である．

Proposition 53 P = P_{1} ×P_{2} とする． P_{1} と P_{1} ×{1_{P_{2}}} を同一視することにより P_{1} ≤^{∘} P と考える． P_{2} についても同様． Q̇ を p.o. の P -name として， Ṙ を p.o. の P_{1}-name とする．

(a) ∥–_{P} “ Ṙ ≤^{∘} Q̇ ” ⇔ P_{1} ∗ Ṙ ≤^{∘} P ∗ Q̇.

(b) P_{1}, P_{2} を separative として， P_{1} ∗ Ṙ ≤^{∘} P ∗ Q̇ となっているとする． G_{1} を V - generic over P_{1}, H_{1} を V [G_{1}]-generic over Ṙ^{V [G_{1}]} とする．このとき V [G_{1}][H_{1}] で p.o. の P_{2}-name Ṡ を適当にとると， (P ∗ Q)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} ∼ P_{2} ∗ Ṡ とできる．

Proof (a): “⇒”: ⟨p, q̇⟩ ∈ P ∗ Q̇ とする．このとき， p = ⟨p_{1}, p_{2}⟩ として， p′ = ⟨p_{1}, 1_{P_{2}}⟩ とし， q̇′ を q̇ の Ṙ への reduction の P -name とする．つまり， Ṙ の元の P -name で，

∥–_{P} “ ∀r ∈ Ṙ (r ≤ q̇′ → r ⊥̸ q̇) ”

となるものとする． q̇′ は ⟨p′, q̇′⟩ ∈ P_{1} ∗ Ṙ となるように選ばれているとしてよい．

⟨p′′, q̇′′⟩ ∈ P_{1} ∗ Ṙ で， ⟨p′′, q̇′′⟩ ≤_{P_{1}∗Ṙ} ⟨p′, q̇′⟩ とすると p′′ ≤_{P_{1}} p′ だから p′′ ⊥̸_{P} p となる．また p′′ ∥–_{P} “ q̇′′ ≤Q̇ q̇′ ” だから， p′′ ∥–_{P} “ q̇′′ ⊥̸Q̇ q̇ ”, したがって， Lemma 52 により， ⟨p′′, q̇′′⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨p, q̇⟩ となる．したがって上の ⟨p′, q̇′⟩ は ⟨p, q̇⟩ の reduction となっていることがわかる．

“⇐”: q̇ を Q̇ の元の P -name とするとき， ∥–_{P} “ there is a reduction of q̇ to Ṙ ” を言えばよい．仮定から， P_{1} の元の maximal antichain A と Ṙ の元の P_{1}-names の族 ⟨q̇_{q} : a ∈ A⟩ で，各 a ∈ A に対し ⟨a, q̇_{a}⟩ が ⟨1_{P} , q̇⟩ の P_{1} ∗ Ṙ への reduction になっているようなものがとれる． Ṙ の元の P_{1}-name q̇′ で，すべての a ∈ A に対し a ∥–_{P_{1}} “ q̇′ = q̇_{a} ” となるようなものをとる．このとき

∥–_{P} “ q̇′ is a reduction of q̇ to Ṙ ”

が成り立つことを示す． p ∈ P として ṙ を Ṙ の元の P -name で p ∥–_{P} “ ṙ ≤Q̇ q̇′ ” となっているものとする． ṙ は P_{1}-name としてよい（より正確には p^{∗} ≤_{P} p と P_{1}-name ṙ^{∗} で p^{∗} ∥–_{P} “ ṙ^{∗} = ṙ ” となるものがとれるから，これらで p と ṙ を置き換えればよい）．

このとき， A の maximality （と P_{1} ≤^{∘} P ）により， a ∈ A で p ⊥̸_{P} a となるものがあるが， p′ ∈ P_{1}, p′ ≤_{P_{1}} a を p の reduction となるようにとれる（Lemma 44 を参照）．このとき p′ ∥–_{P} “ ṙ ≤Q̇ q̇_{a} ” となるから， ⟨p′, ṙ⟩ ≤_{P_{1}∗Ṙ} ⟨a, q̇_{a}⟩ となる． ⟨a, q̇_{a}⟩ は ⟨1_{P_{1}}, q̇⟩ の reduction だったから， ⟨p′, ṙ⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨1_{P} , q̇⟩ である．したがって， Lemma 52 により， p′′ ≤_{P} p′ で， p′′ ∥–_{P} “ ṙ ⊥̸ q̇ ” となるものが存在する．

(b): V [G_{1}][H_{1}] で考える． π_{G_{1}} : V^{P} → (V [G_{1}])^{P_{2}} を Lemma 50 の前のようなものとする． P_{2}-name Ṡ を， P_{2}-name ṙ に対し，

p_{2} ∥–_{P_{2}} “ ṙ ∈ Ṡ ” ⇔ p_{2} ∥–_{P_{2}} “ ṙ ∈ π_{G_{1}}(Q̇) ” ∧ ∀v ∈ H_{1} (p_{2} ∥–_{P_{2}} “ π_{G_{1}}(Q̇) ⊧ ṙ ⊥̸ v̌ ”)

となるものとして， Ṡ 上の partial order の P_{2}-name ≤Ṡ を， p_{2} ∈ P_{2} と P_{2}-name ṙ, ṙ′ に対し，

\begin{aligned}p_{2} ∥–_{P_{2}} “ ṙ ≤Ṡ ṙ′ ” ⇔ & p_{2} ∥–_{P_{2}} “ ṙ, ṙ′ ∈ Ṡ ” ∧ \\ & ∃v ∈ H_{1} (p_{2} ∥–_{P_{2}} “ π_{G_{1}}(Q̇) ⊧ ∀r ≤ ṙ (r ⊥ ṙ′ → r ⊥ v̌) ”) \end{aligned}

となるものとする．このとき， (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} の元 ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ に ⟨p_{2}, π_{G_{1}}(q̇)⟩ を対応させる写像 Φ は， r.o.((P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+}) から r.o.(P_{2} ∗ Ṡ) への同型写像ををひきおこす．

このことの証明を以下で行う．簡単のために (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} の ordering を ⊑ で， P_{2} ∗ Ṡ の ordering を ⊴ で表すことにする．

Claim 53.1 ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ ∈ (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} なら， ⟨p_{2}, π_{G_{1}}(q̇)⟩ ∈ P_{2} ∗ Ṡ である．

⊢ ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ ∈ (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} とすると， (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} の定義から，

∀⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, ḣ⟩ ∈ G_{1} ∗ H_{1} (⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, ḣ⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩)

となる．特に， ∀g_{1} ∈ G_{1} (g_{1} ⊥̸_{P_{1}} p_{1}) だから， p_{1} ∈ G_{1} である． v ∈ H_{1} として， v̇ を v の P_{1}-name とすると，

⟨⟨1_{P_{1}}, 1_{P_{2}}⟩, v̇⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩

となるから，（V [G_{1}][H_{1}] で） v̇^{V [G_{1}]} = v と Lemma 51 により， p_{2} ∥–_{P_{2}} “ π_{G_{1}}(q̇) ⊥̸_{π_{G_{1}}(Q̇)} v̌ ” となる．したがって， p_{2} ∥–_{P_{2}} “ π_{G_{1}}(q̇) ∈ Ṡ ” で，このことから ⟨p_{2}, π_{G_{1}}(q̇)⟩ ∈ P_{2} ∗ Ṡ がわかる． ⊣ (Claim 53.1)

以上で Φ : (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} → P_{2} ∗ Ṡ となっていることが分かったが，

Claim 53.2 Φ は上射である．

⊢ ⟨p_{2}, ṡ⟩ ∈ P_{2} ∗ Ṡ とすると， ⟨⟨1_{P_{1}}, p_{2}⟩, ṡ⟩ ∈ (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} である（ただし， P_{2} ≤^{∘} P と見て， V^{P_{2}} ⊆ V^{P} と考える）： ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, ḣ⟩ ∈ G_{1} ∗ H_{1} とする． π_{G_{1}}(ṡ) = ṡ, π_{G_{1}}(v̌) = v̌ となることに注意する． Ṡ の定義から，

∀v ∈ H_{1} (p_{2} ∥–_{P_{2}} “ π_{G_{1}}(Q̇) ⊧ ṡ ⊥̸ v̌ ”)

となるから， Lemma 51 により p_{1} ∈ G_{1} で ⟨p_{1}, p_{2}⟩ ∥–_{P} “ Q̇ ⊧ ṡ ⊥̸ v̌ ” となるものがある． g_{1} ∈ G_{1} だから， Lemma 52 により， ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, ḣ⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨⟨1_{P_{1}}, p_{2}⟩, ṡ⟩ となることがわかる．

明らかに Φ(⟨⟨1_{P_{1}}, p_{2}⟩, ṡ⟩) = ⟨p_{2}, ṡ⟩ である． ⊣ (Claim 53.2)

したがって次の Claim から定理が導かれる：

Claim 53.3 ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩, ⟨⟨p′_{1}, p′_{2}⟩, q̇′⟩ ∈ (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} に対し， ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ ⊑ ⟨⟨p′_{1}, p′_{2}⟩, q̇⟩ ⇔ ⟨p_{2}, π_{G_{1}}(q̇)⟩ ⊴ ⟨p′_{2}, π_{G_{1}}(q̇′)⟩ が成り立つ．

⊢ “⇒”: ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ ⊑ ⟨⟨p′_{1}, p′_{2}⟩, q̇⟩ とすると， “⊑” の定義から， ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, ḣ⟩ ∈ G_{1} ∗ H_{1} で

(⊙)  \begin{aligned}∀⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ≤_{P ∗Q̇} ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ ( & ⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ⊥_{P ∗Q̇} ⟨⟨p′_{1}, p′_{2}⟩, q̇′⟩ \\ & → ⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ⊥_{P ∗Q̇} ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, ḣ⟩) \end{aligned}

となるものがある．ここで g_{1} は小さくとりなおしてよいが， (P ∗ Q̇)_{G_{1}∗H_{1}}^{+} の定義から， p_{1}, p′_{1} ∈ G_{1} となるので， g_{1} ≤ p_{1}, p′_{1} としてよい． (⊙) と P_{2} が separative であることから， p_{2} ≤_{P_{2}} p′_{2} がわかる．したがって， ⟨p_{2}, π_{G_{1}}(q̇)⟩ ⊴ ⟨p′_{2}, π_{G_{1}}(q̇′)⟩ をいうには，

p_{2} ∥–_{P_{2}} “ π_{G_{1}}(Q̇) ⊧ ∀r ≤ π_{G_{1}}(q̇) (r ⊥ π_{G_{1}}(q̇′) → r ⊥ π_{G_{1}}(ḣ))) ”

を示せばよい． Lemma 51 により，このことは，

∃p_{1} ∈ G_{1} (⟨p_{1}, p_{2}⟩ ∥–_{P} “ Q̇ ⊧ ∀r ≤ q̇ (r ⊥ q̇′ → r ⊥ ḣ) ”

と同値だが， p_{1} として上の g_{1} をとれば (⊙) により，これが成り立っていることがわかる: ⟨g_{1}, p_{2}⟩ / ∥–_{P} “ Q̇ ⊧ ∀r ≤ q̇ (r ⊥ q̇′ → r ⊥ ḣ) ” だったとすれば， ⟨p_{1}^{∗}, p_{2}^{∗}⟩ ≤_{P} ⟨g_{1}, p_{2}⟩ と P -name ṙ^{∗} で，

⟨p_{1}^{∗}, p_{2}^{∗}⟩ ∥–_{P} “ Q̇ ⊧ ṙ^{∗} ≤ q̇ ∧ ṙ^{∗} ⊥ q̇′ ∧ ṙ^{∗} ⊥̸ ḣ ”

となるものがある．このとき， ⟨⟨p_{1}^{∗}, p_{2}^{∗}⟩, ṙ^{∗}⟩ ≤_{P ∗Q̇} ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ となる．また Lemma 52 により， ⟨⟨p_{1}^{∗}, p_{2}^{∗}⟩, ṙ^{∗}⟩ ⊥_{P ∗Q̇} ⟨⟨p′_{1}, p′_{2}⟩, q̇′⟩ で， ⟨⟨p_{1}^{∗}, p_{2}^{∗}⟩, ṙ^{∗}⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, ḣ⟩ となる．これは， (⊙) に矛盾する．

“⇐”: ⟨p_{2}, π_{G_{1}}(q̇)⟩ ⊴ ⟨p′_{2}, π_{G_{1}}(q̇′)⟩ とすると， “⊴” の定義から， p_{2} ≤ p′_{2} で

p_{2} ∥–_{P_{2}} “ π_{G_{1}}(q̇) ≤Ṡ π_{G_{1}}(q̇′) ”

となる．後者は， “≤Ṡ” の定義から，

p_{2} ∥–_{P_{2}} “ \begin{matrix}π_{G_{1}}(q̇), π_{G_{1}}(q̇′) ∈ Ṡ ∧ \\ ∃v ∈ H_{1}(p_{2} ∥–_{P_{2}} “ π_{G_{1}}(Q̇) ⊧ ∀r ≤ π_{G_{1}}(q̇) (r ⊥ π_{G_{1}}(q̇′) → r ⊥ v̌) ”) ” \end{matrix}

と同値である．したがって， Lemma 51 により，上のような v の P_{1}-name を v̇ として， g_{1} ∈ G_{1} で，

(ア) ⟨g_{1}, p_{2}⟩ ∥–_{P} “ Q̇ ⊧ ∀r ≤ q̇ (r ⊥ q̇′ → r ⊥ v̇) ”

となるものがとれる． p_{1}, p′_{1} ∈ G_{1} だから， g_{1} ≤ p_{1}, p′_{1} としてよい． ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, v̇⟩ ∈ G_{1} ∗H_{1} だから， “⊑” の定義により，

(†) ∀⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ≤_{P ∗Q̇} ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ (\begin{matrix}⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ⊥_{P ∗Q̇} ⟨⟨p′_{1}, p′_{2}⟩, q̇′⟩ \\ → ⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ⊥_{P ∗Q̇} ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, v̇⟩) \end{matrix}

が言えれば，これから ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩ ⊑ ⟨⟨p′_{1}, p′_{2}⟩, q̇′⟩ が帰結できる．これを示すために，

(イ) ⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ≤_{P ∗Q̇} ⟨⟨p_{1}, p_{2}⟩, q̇⟩

で ⟨⟨r_{1}, r_{2}, ṙ⟩⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, v̇⟩ となるものをとる．必要なら， ⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ を P ∗ Q̇ でさらに小さくとりなおすことにより，

(ウ) ⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ≤_{P ∗Q̇} ⟨⟨g_{1}, 1_{P_{2}}⟩, v̇⟩

となっていると仮定してよい．したがって， ⟨r_{1}, r_{2}⟩ ≤_{P} ⟨g_{1}, p_{2}⟩ だから， (ア) により，

(エ) ⟨r_{1}, r_{2}⟩ ∥–_{P} “ Q̇ ⊧ ∀r ≤ q̇ (r ⊥ q̇′ → r ⊥ v̇) ”

となる． g_{1} ≤_{P_{1}} p′_{1} だから (ウ) により， r_{1} ≤_{P_{1}} p′_{1} である．

ここで (イ) により， ⟨r_{1}, r_{2}⟩ ∥–_{P} “ ṙ ≤Q̇ q̇ ”, また (ウ) により， ⟨r_{1}, r_{2}⟩ ∥–_{P} “ ṙ ≤Q̇ v̇ ” だから， (エ) により， ⟨r_{1}, r_{2}⟩ ∥–_{P} “ ṙ ⊥̸ q̇′ ” である． (イ) により， r_{2} ≤ p_{2} で p_{2} ≤_{P_{2}} p′_{2} だから， r_{2} ≤ p′_{2} である．したがって， Lemma 52 により， ⟨⟨r_{1}, r_{2}⟩, ṙ⟩ ⊥̸_{P ∗Q̇} ⟨⟨p′_{1}, p′_{2}⟩, q̇′⟩ となる．以上で (†) が示せた． ⊣ (Claim 53.3)

(Proposition 53)

9 Theorem 39 の証明

以下の Facts と Propositions は主に Harrington and Shelah [4] からの引用である． T を Aronszajn tree on ω_{1} とする（i.e. T は ω_{1}-tree without ω_{1}-branch）．

P (T) = {p ∈ Fn(T, ℚ) : p は order preserving}

p ≤ q ⇔ p ⊇ q とする． P (T) specializes T i.e. P (T) adds an order preserving F : T → ℚ. これにより， T が Aronszajn であることが indestructible になることに注意．

Fact 54 P (T) は c.c.c. を満たす．

Proof P (T) の uncountable antichain ⟨p_{α} : α < ω_{1}⟩ があったとして矛盾を導く． Δlemma により， pairwise disjoint な x̂, x_{α}, α < ω_{1} があって， dom(p_{α}) = x̂ ˙∪ x_{α} となっているとしてよい．さらに， p_{α}| ` x̂ は一定としてよい．また， α < β なら，すべての t ∈ x̂, t′ ∈ x_{α} t′′ ∈ x_{β} に対して， ht(t) < ht(t′) < ht(t′′) が成り立つとしてよい．さらに， x_{α}, α < ω_{1} はすべて同じサイズを持つとしてよい．このサイズを n として， x_{α}(0), …, x_{α}(n − 1) を x_{α} の小さい順の enumeration とする．

α < β < ω_{1} なら，仮定から p_{α} ∪ p_{β} は P (T) の元とならないから，

∃i ∈ n ∃j ∈ n (x_{α}(i) と x_{β}(j) は compatible)

が成り立つ． ht(x_{α}(i)) < ht(x_{β}(j)) だから，

∃i ∈ n ∃j ∈ n (x_{α}(i) <_{T} x_{β}(j))

である． U を ω_{1} 上の uniform ultrafilter として， quantifier a.e. x を，

⊧ a.e. x φ(x, …) ⇔ {α ∈ ω_{1} : ⊧ φ(α, …)} ∈ U

という解釈で考えることにする．このとき，

⊧ a.e. α a.e. β ∃i ∈ n ∃j ∈ n (x_{α}(i) <_{T} x_{β}(j))

だから，（U の completeness により）

⊧ ∃i ∈ n ∃j ∈ n a.e. α a.e. β (x_{α}(i) <_{T} x_{β}(j))

となる． i^{∗}, j∗ ∈ n を，

⊧ a.e. α a.e. β (x_{α}(i^{∗}) <_{T} x_{β}(j^{∗}))

となるようにとると，

X = {α ∈ ω_{1} : a.e. β (x_{α}(i^{∗}) <_{T} x_{β}(j^{∗}))} ∈ U

となる． α, β ∈ X, α < β なら， γ ∈ ω_{1} で， x_{α}(i^{∗}) <_{T} x_{γ}(j^{∗}) かつ x_{β}(i^{∗}) <_{T} x_{γ}(j^{∗}) となるようなものがとれる．したがって， T が tree であることと， ht(x_{α}(i^{∗})) < ht(x_{β}(i^{∗}))

から， x_{α}(i^{∗}) <_{T} x_{β}(i^{∗}) がわかる．したがって， B = {x_{α}(i^{∗}) : α ∈ X} は T での chain となるが， | B | = ℵ_{1} だから， B は T の ω_{1}-branch を生成する．しかし，これは， T が ω_{1}-Aronszajn tree であることに矛盾である． (Fact 54)

T を ω_{1}-Aronszajn tree で， hight 0 の元が ℵ_{0} 個あるようなものとする． d⃗ = ⟨d_{α} : α < ω_{1}⟩ を ω の subsets の列とする．このとき，

P (T, d⃗) = {p ∈ P (T) : ∀t ∈ dom(p) (ht(t) = ω · α ∧ p(t) ∈ ω (⊆ ℚ) → p(t) ∈ d_{α})}

として， p ≤_{P (T,d⃗)} q ⇔ p ⊇ q とする．このとき， Fact 54 と同様に，

Fact 55 P (T, d⃗) は c.c.c. を満たす．

Fact 56 G を P (T, d⃗) 上の generic set として， F = ⋃ G とするとき， fact4 (0) F : T → ℚ.

(1) d_{β} = {F (t) : t ∈ T, ht(t) = ω · β} ∩ ω.

(2) t ∈ T, ht(t) ∈ Lim(ω_{1}) ⇒ F (t) = sup{F (t′) : t′ <_{T} t}.

Proof G の genericity からよい． (Fact 56)

Proposition 57 T を ω_{1}-Aronszajn tree として， b⃗ = ⟨b_{α} : α < ω_{1}⟩ を ω の subsets のsingle-c 列とする．このとき， c.c.c. p.o による V -generic G と V [G] の real c で， b⃗ ∈ L[T, c] となるものが存在する．

Proof n ∈ ω に対し， d⃗_{n} = ⟨d_{α}^{n} : α < ω_{1}⟩ および G_{n} と F_{n} を n に関する induction により，次のようにとる：

(1) ⟨d_{α}^{0} : α < ω_{1}⟩ = b⃗;

(2) G_{n} は V [G_{0}] ⋯ [G_{n−1}]-generic over P (T, d⃗_{n});

(3) F_{n} = ⋃ G_{n} （したがって F_{n} : T → ℚ ） ;

(4) d_{α}^{n+1} は F_{n}|` T_{ω·(α+1)} を^{19} code する ω の部分集合^{20} ．

P を上の (1) ∼ (4) に対応する長さ ω の FS-iteration の limit として， G を V -generic over P とする． G できまる ⟨d_{α}^{n} : α < ω_{1}, n ∈ ω⟩ を取り， c を {d_{0}^{n} : n ∈ ω} を code する real とする．

以下でこの c が求めるようなものとなっていることを示す．このためには， ⟨d_{α}^{n} : n ∈ ω, α < ω_{1}⟩ が L[T, c] で uniform に定義可能であることが示せればよい．

⟨d_{α}^{n} : n ∈ ω, α < β⟩ ∈ L[T, c] が決まったとして， ⟨d_{β}^{n} : n ∈ ω⟩ が L[T, c] の中で ⟨d_{α}^{n} : n ∈ ω, α < β⟩ から uniform に定義できることを示す．

β = 0 のときは， ⟨d_{0}^{n} : n ∈ ω⟩ は c により code されているからよい．

β が successor のとき，たとえば， β = α_{0} + 1 のときには， Fact 56 (1) により，

d_{β}^{n} = d_{α_{0}+1}^{n} = {F_{n}(t) : t ∈ T, ht(t) = ω · (α_{0} + 1)} ∩ ω

19 T_{ξ} で {t ∈ T : ht(t) < ξ} をあらわすことにする． 20 canonical な coding で， F_{n}|` T_{ω·(α+1)} ∈ L[d_{α}^{n+1}] となるようなものををあらかじめ fix しておく．

だが，この右辺は， (4) により， d_{α_{0}}^{n+1} から算出できる．

β でが limit のときは， (4) により， ⟨d_{α}^{n+1} : α < β⟩ から ⟨F_{n}|` T_{ω·(α+1)} : α < β⟩ が再現できる． Fact 56 (1), (2) から，

d_{β}^{n} = {F_{n}(t) : t ∈ T, ht(t) = ω · β} ∩ ω = {sup{F_{n}(t′) : t′ <_{T} t} : t ∈ T_{ω·β}} ∩ ω

として d_{β}^{n} が算出できるが，右辺は， ⟨F_{n}|` T_{ω·(α+1)} : α < β⟩ から算出できる． (Proposition 57)

Proposition 58 L で κ が regular で weakly compact でない，とする．このとき， κ-tree

                                                                                                                        HaSh-claim5

T ∈ L で，任意の model K ⊇ L で T が κ-branch を持つなら， K ⊧ cf(κ) = ω となるようなものが存在する．

Proof L で考える． κ は weakly compact でないから， κ-tree T_{0} で κ-branch を持たないようなものが存在する（つまり κ-Aronszajn tree in L）． T_{0} ⊆ ⋃_{α<κ} α^{α} としてよい． T を次のように定義する．

(1) η = ⟨α, M, b⟩ ∈ T ⇔ α < κ, M = L_{β} for some β, b ∈ M, α ⊆ M, M = (Skolem hull of α ∪ {α})^{M} and b|` α ∈ T_{0} ;

(2) ⟨α′, M′, b′⟩ <_{T} ⟨α, M, b⟩ ⇔ (i) α′ ≥ α, (ii) h : M ≅ (transitive collapse of Skolem hull of α ∪ {b′})^{M′}, (iii) h(b) = b′.

ある K ⊇ L で T が κ-branch ⟨α_{ξ}, M_{ξ}, b_{ξ}⟩, ξ < κ を持つとすると，これに対応して direct system

h_{ξ,ξ′} : ⟨α_{ξ}, M_{ξ}, b_{ξ}⟩ → ⟨α_{ξ′}, M_{ξ′}, b_{ξ′}⟩, ξ < ξ′ < κ

が考えられる．ここに， h_{ξ,ξ′} は上の (2),(ii) での h に相当する写像である．この direct system の極限を M^{∗} = ⟨α^{∗}, M^{∗}, b^{∗}⟩ とする．もし M^{∗} が well-founded なら， β^{∗} をうまくとって M^{∗} = L_{β^{∗}} となっているとしてよいが，このときには，上の (2),(iii) と b^{∗} ∈ L により， L に属す T の κ-chain が b^{∗} から構成できてしまい， T のとりかたに矛盾する．したがって， M^{∗} は non-well-founded であるが，各 M_{ξ}, ξ < κ は well-founded だから，これは cf(κ) = ω でなければ不可能である． (Proposition 58)

Proof of Theorem 39 : Theorem 21 により， ω_{1} は， L 上 inaccessible to reals となる．もし L で ω_{1}^{V} が weakly compact でなければ， Proposition 58 により， ω_{1}-tree T ∈ L で，すべての model K ⊇ L で， T が ω_{1}-branch を持つなら， cf^{K}(ω_{1}) = ω となるようなものがとれる．特に T は V で ω_{1}-Aronszajn tree である．したがって， d⃗ = ⟨d_{α} : α < ω_{1}^{V} ⟩ を injective な reals の列とすると， Proposition 57 により， V での c.c.c. p.o. 上の V -generic な G と c ∈ V [G] で，

V [G] ⊧ L[T, c] ∋ d⃗

となるものがとれる． T ∈ L だったから， L[T, c] = L[c] である．特に

V [G] ⊧ L[c] は非可算個の reals を持つ

だから，

V [G] ⊧ ∃x ∈ ^{ω}ω( L[x] は非可算個の reals を持つ)

となるが，

∃x ∈ ^{ω}ω( L[x] は非可算個の reals を持つ) ⇔ H(ω_{1}) ⊧ φ

となるような φ がとれる^{21} . （実は φ は Σ_{3}^{1} sentence として書ける）．

ここで

V [G] ⊧ H(ℵ_{1}) ⊧ φ

だから， projective absoluteness for c.c.c. により

V ⊧ H(ℵ_{1}) ⊧ φ

となるが，すべての real c に対し， L[c] ⊧ GCH だから，これは， ω_{1}^{V} が inaccessible in reals over L である（Theorem 21）ことに矛盾である． (Theorem 39)

21 ”there are uncountably many x satisfying ψ” は， H(ℵ_{1}) で， ∀x∃y(y ∉ x ∧ φ(y, …)) とあらわせる．

10 Elementary submodels in generic extensions

Lemma 59 Suppose that χ is a regular uncountable cardinal and P ∈ H(χ) a p.o. Then for any V -generic filter G over P, we have:

(H(χ))^{V [G]} = (H(χ))[G].

Proof Note that ∥–_{P} “ χ is a cardinal ” by χ > | P |. Suppose that ∥–_{P} “ ẋ ∈ (H(χ))^{V [G]} ” for a P -name ẋ. We show, by induction on rank(ẋ), that there is ẋ′ ∈ V^{P} ∩H(χ) such that ∥–_{P} “ ẋ′ = ẋ ”. By χ > | P | and since ∥–_{P} “ ẋ ∈ [(H(χ))^{V [G]}]^{<χ} ”, there is a sequence ⟨⟨ẏ_{α}, p_{α}⟩ : α < γ⟩ for some γ < χ where ẏ_{α} is a P -name such that ∥–_{P} “ ẏ_{α} ∈ H(χ)^{V [G]} ”, p_{α} ∈ P for all α < γ; {⟨ẏ_{α}, p_{α}⟩ : α < γ} ⊆ ẋ and

∥–_{P} “ ẋ = {⟨ẏ_{α}, p_{α}⟩ : α < γ} ”

By induction hypothesis, there are ẏ′_{α} ∈ V^{P} ∩ H(χ), α < γ such that ∥–_{P} “ ẏ_{α} = ẏ′_{α} ” for each α < γ. Letting ẋ′ = {⟨ẏ′_{α}, p_{α}⟩ : α < γ}, we have ẋ ∈ V^{P} ∩ H(χ) and ∥–_{P} “ ẋ = ẋ′ ”.

Suppose now that ẋ ∈ V^{P} ∩ H(χ). Then again by induction on rank(ẋ) we can prove that ∥–_{P} “ ẋ ∈ (H(χ))^{V [Ġ]} ”. (Lemma 59)

Lemma 60 Suppose that χ is a regular uncountable cardinal, P ∈ H(χ) a p.o. and q-i p ∈ P. Let ȧ_{1},…, ȧ_{n} ∈ V^{P} ∩ H(χ) (Note that, by the previous lemma, we have ∥–_{P} “ ȧ_{1}, …, ȧ_{n} ∈ H(χ)^{V [Ġ]} ”) and φ a L_{ZF}-formula. Then

p ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” ⇔ H(χ) ⊧ p ∥–_{P} “ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”.

Proof By induction on φ. The lemma is clear if φ is quantifier free.

The crucial step in the induction is to show the claim for φ of the form ∃xψ(x, ȳ) assuming the lemma for ψ.

So suppose that p ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ φ[ȧ_{1}, … ȧ_{n}] ”. By the previous lemma, for any q ≤_{P} p, we can find q′ ≤_{P} q and ȧ_{q′} ∈ H(χ) such that

q′ ∥–_{P} “ H(χ)^{V} [Ġ] ⊧ ψ[ȧ_{q′}, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”.

Since | P | < χ we can find ȧ ∈ H(χ) such that q′ ∥–_{P} “ ȧ_{q′} = ȧ ” for a maximal pairwise incompatible family of such q̇′’s as above. Clearly we then have: p ∥–_{P} “ H(χ)^{V} [Ġ] ⊧ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”. By induction hypothesis it follows that

H(χ) ⊧ p ∥–_{P} “ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”.

Hence H(χ) ⊧ p ∥–_{P} “ ∃x ψ[x, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”. I.e.

H(χ) ⊧ p ∥–_{P} “ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”.

Conversely, suppose that

H(χ) ⊧ p ∥–_{P} “ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”.

Then by Maximal Principle in H(χ), there is ȧ ∈ V^{P} ∩ H(χ) such that

H(χ) ⊧ p ∥–_{P} “ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”.

By induction hypothesis, it follows that p ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”. Hence

p ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”.

(Lemma 60)

Lemma 61 χ を regular uncountable cardinal とする． ⊑ を H(χ) 上の well ordering と

                                                                                                                        q-j

して， M ≺ ⟨H(χ), ⊑⟩ とするとき^{22} ，

[M]^{ℵ_{0}} ∩ M is cofinal in [M]^{ℵ_{0}} ⇔ [On ∩ M]^{ℵ_{0}} ∩ M is cofinal in [On ∩ M]^{ℵ_{0}}

となる．

Proof “⇒” は明らかである．

“⇐”: x ∈ [M]^{ℵ_{0}} とする．このとき， M の elementarity により， β ∈ ω_{1} ∩M と f ∈ M で， f : β → M で f“β ⊇ x となっているようなものが存在する．各 y ∈ x に対し， f(ξ_{y}) = y となるような ξ_{y} ∈ On∩M をとり， a = {ξ_{y} : y ∈ x} とすれば， a ∈ [On∩M]^{ℵ_{0}} だから，仮定により， b ∈ [On ∩ M]^{ℵ_{0}} ∩ M で a ⊆ b となるものがとれる．このとき， x′ = f′′b とすれば， x′ ∈ [M]^{ℵ_{0}} ∩ M で， x ⊆ x′ である． (Lemma 61)

Proper p.o. の定義の復習をしておく． P.o. P が proper とは，任意の／すべての十分に大きな regular な χ ∈ On に対し， club set C ⊆ [H(χ)]^{ℵ_{0}} で，すべての M ∈ C に対し，

(1) M ≺ H(χ) and

(2) for any p ∈ P ∩ M there is q ≤ p such that q is (P, M)-generic

となるようなものが存在すること．ここに q ∈ P が (P, M)-generic とは， for all α̇ ∈ V^{P} ∩ M, if ∥–_{P} “ α̇ is an ordinal ” then q ∥–_{P} “ α̇ ∈ M ” となることであった．

Lemma 62 P を proper p.o. として， ȧ を ordinals の countable set の P -name とする．

                                                                                                                        q-k

このとき， q ∈ P と b ∈ [On]^{ℵ_{0}} で， q ∥–_{P} “ ȧ ⊆ b̌ ” となるものが存在する．

Proof ∥–_{P} “ ȧ = {α̇_{n} : n ∈ ω} ” とする． C を上の proper p.o. の定義でのようにとり， M ∈ C を α̇_{n} ∈ M for all n ∈ ω となるようにとり， q ∈ P を (P, M)-generic とすれば， q ∥–_{P} “ ȧ ⊆ On ∩ M ” となる． (Lemma 62)

Proposition 63 Supose that χ is a regular uncountable cardinal and P ∈ H(χ) a p.o. For a V -generic filter G over P and M ≺ H(χ) with P ∈ M, we have:

(1) M[G] ≺ H(χ)^{V [G]}.

Further, suppose that P is proper and satisfies the ℵ_{2}-c.c. Suppose also that M is elementary submodel of ⟨H(χ), ∈, ⊑⟩ for a well ordering ⊑ of H(χ) and ω_{1} ⊆ M. Then:

22 α ∈ H(χ) のとき， V_{α} ∈ H(χ) と限らないため， V_{χ} での議論でのように V_{α} を standard な oberset として用いることができない． ⊑ はこれを補うために必要．

(2) On ∩ M = On ∩ M[G].

(3) If [M]^{ℵ_{0}} ∩ M is cofinal in [M]^{ℵ_{0}} with respect to ⊆ and P is proper then

V [G] ⊧ [M[G]]^{ℵ_{0}} ∩ M[G] is cofinal in [M[G]]^{ℵ_{0}}.

Proof (1): L_{ZF}-formula φ に関する帰納法で，

(∗) {任意の ȧ_{1},…, ȧ_{n} ∈ V^{P} ∩ M と p ∈ P に対し， \atop p ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” ⇔ p ∥–_{P} “ M[Ġ] ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”}

を示せばよい． φ が ∃xψ(x, ȳ) の形をしているときの induction step が問題となるので，これを示す：

まず， p ∥–_{P} “ M[Ġ] ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” とすると，任意の q ≤_{P} p に対し， q′ ≤_{P} q と ȧ ∈ V^{P} ∩ M で q′ ∥–_{P} “ M[Ġ] ⊧ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” となるものがある．帰納法の仮定から， q′ ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” となる．したがって， q′ ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” である． q ≤_{P} p は任意だったから，このことから， p ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” がわかる．

次に， p ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” と仮定してみる． Lemma 60 により，

(∗∗) H(χ) ⊧ p ∥–_{P} “ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”

である． p ∈ M とは限らないので，以下のようなトリックが必要になる：

H(χ) ⊧ ∃a( a ∈ V^{P} ∧ ∀q ∈ P (q ∥–_{P} “ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” → q ∥–_{P} “ ψ[a, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”))

である． ȧ_{1},…, ȧ_{n} ∈ M だから， M の elementarity により， ȧ ∈ V^{P} ∩ M で，

H(χ) ⊧ ∀q ∈ P (q ∥–_{P} “ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” → q ∥–_{P} “ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ”)

となるものが存在する．このとき， (∗∗) により， H(χ) ⊧ p ∥–_{P} “ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” である．したがって， Lemma 60 により， p ∥–_{P} “ H(χ)^{V [Ġ]} ⊧ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” となり，帰納法の仮定により， p ∥–_{P} “ M[Ġ] ⊧ ψ[ȧ, ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” となる．したがって， p ∥–_{P} “ M[Ġ] ⊧ φ[ȧ_{1}, …, ȧ_{n}] ” である．

(2): Suppose that α̇ is a P -name for an ordinal. In H(χ) for any p ∈ P, there are q ≤_{P} p and countable set c of ordinals such that q ∥–_{P} “ α̇ ∈ c ”. Hence this assertion also holds in M. By ℵ_{2}-c.c. of P and ω_{1} ⊆ M, we can find {⟨p_{β}, c_{β}⟩ : β < ω_{1}} ∈ M such that p_{β}, {p_{β} : β < ω_{1}} is maximal pairwise incompatible, c_{β} ∈ M, c_{β} ∈ [On]^{ℵ_{0}} p_{β} ∈ P, c_{β} is countable and p_{β} ∥–_{P} “ α̇ ∈ c_{β} ”. Then ∥–_{P} “ α ∈ ⋃_{β<ω_{1}} c_{β} ”. But ⋃_{β<ω_{1}} c_{β} ⊆ On ∩ M

(3): Lemma 61 と (1) により，

V [G] ⊧ [On ∩ M[G]]^{ℵ_{0}} ∩ M[G] is cofinal in [On ∩ M[G]]^{ℵ_{0}}

を言えばよい． ȧ を ([On ∩ M[G]]^{ℵ_{0}})^{V [G]} の元の P -name とする．このとき， (2) により，

On∩M = On∩M[G] だから， ȧ は ([On∩M]^{ℵ_{0}})^{V [G]} の元の P -name となっている．した \underline{数学ノート 2000} 47

がって， Lemma 62 により， a ∈ [On ∩ M]^{ℵ_{0}} ∩ M と p ∈ G で p ∥–_{P} “ ȧ ⊆ ǎ ” となるものがある．仮定から， b ∈ [On∩M]^{ℵ_{0}} で a ⊆ b となるものがとれるが， b ∈ ([On∩M[G]]^{ℵ_{0}})^{V [G]}

で， ȧ^{V [G]} ⊆ b である． (Proposition 63)

上の Lemma 63 (2) で “ℵ_{2}-c.c.” は落とせない： P = Fn(ω_{1}, ω_{2}, <ℵ_{2}) とすると， P ha σ-closed だから proper だが， ḟ を (ω_{1})^{V} から (ω_{2})^{V} への surjection の P -name として， M ⊆ H(χ) を ω_{1} ⊆ M, ḟ ∈ M, | M | = ℵ_{1} となるようにとれば， V [G] で On ∩ M ≠ ω_{2} = {ḟ^{V [G]}(α) : α < ω_{1}} ⊆ On ∩ M[G] となる．

References

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