数学ノート 1999/2000

渕野昌 (Sakaé Fuchino)

July 3, 2000

1 コンパクト空間の特徴付け

（柄戸君が見つけたもの．江田さんに聞く）：

Theorem 1 A Hausdorff space (X, O) is compact iff (∗) for any regular κ and any f : κ → X there is an x^{∗} ∈ X such that for any open neighborhood O ∈ O of x^{∗} the set {α ∈ κ : f(α) ∈ O} is unbounded in κ.

Proof “⇒”: Suppose that (∗) does not hold. Then there are regular κ and f : κ → X such that for any x ∈ X there is an open neighborhood O_{x} ∈ O of x so that {α ∈ κ : f(α) ∈ O_{x}} is bounded in κ. For x ∈ X let β_{x} < κ be such that {α ∈ κ : f(α) ∈ O_{x}} ⊆ β_{x}.

Claim 1.1 {O_{x} : x ∈ X} is an open cover of X without any finite subcover.

⊢ Clearly ⋃{O_{x} : x ∈ X} = X. Suppose that x_{0},…, x_{n−1} ∈ X. Let α^{∗} = max{α_{x_{0}},…, α_{x_{n−1}}} + 1. Then f(α^{∗}) ∉ O_{x_{0}} ∪ ⋯ ∪ O_{x_{n−1}}. ⊣ (Claim 1.1)

“⇐”: Suppse that X is not compact. Let C be an open cover of X without any finite subcover. Take a sequence ⟨O_{ξ} : ξ < γ⟩ of elements of C such that (1) ⋃_{ξ<β} O_{ξ} ≠ X for all β < γ; (2) O_{ξ} ⊈ ⋃_{η<ξ} O_{η} for all ξ < γ and (3) ⋃_{ξ<γ} O_{ξ} = X. Let γ be the least possible among such with the sequence ⟨O_{ξ} : ξ < γ⟩ as above. Then γ is a limit ordinal. Let κ = cf(γ) and ⟨γ_{α} : α < κ⟩ be a strictly increasing sequence with sup_{α<κ} γ_{α} = γ. For α < κ, let U_{α} = ⋃_{ξ<γ_{α}} O_{ξ}. Then ⟨U_{α} : α < κ⟩ is a strictly increasing sequence of open subsets of X and X = ⋃_{α<κ} U_{α}. Let f : κ → X be such that

(†) f(α) ∈ X \ U_{α}

for all α < κ.

Claim 1.2 For any x ∈ X there is O ∈ O with x ∈ O such that {α < κ : f(α) ∈ O} is bounded.

⊢ Let η < κ be such that x ∈ U_{η}. Then by (†) we have {α < κ : f(α) ∈ U_{η}} ⊆ η.

⊣ (Claim 1.2)

(Theorem 1)

\underline{数学ノート 1999/2000} 2

Theorem 2 (Tychonoff) Suppose that X_{i} = (X_{i}, O_{i}) is compact for all i ∈ I. Then ∏_{i∈I} X_{i} is compact.

Proof We use the previous characterization of the compactness. Let κ be a regular cardinal and let f : κ → ∏_{i∈I} X_{i} be an arbitrary mapping with

f(α) = (f_{i}(α))_{i∈I}

for all α ∈ κ. By assumption, there is x_{i} ∈ X_{i} for each i ∈ I such that for any O_{i} ∈ O_{i} with x ∈ O_{i}, the set {α ∈ κ : f_{i}(α) ∈ O_{i}} is unbounded in κ. Let x^{∗} = (x_{i})_{i∈I}, then for any open O ⊆ X with x^{∗} ∈ O, there is open sets O_{i} ⊆ X_{i} and a finite set S such that O_{i} = X_{i} for all i ∈ X \ S and x^{∗} ∈ ∏_{i∈I} O_{i} ⊆ O. Suppose that S = {i_{0},…, i_{n−1}}. Then inductively we can find κ ⊇ A_{0} ⊇ ⋯ ⊇ A_{n−1} such that A_{k} is cofinal in κ and f_{i_{k}}[A_{k}] ⊆ O_{i_{k}} for k = 0,…, n − 1. Then {α ∈ κ : f(α) ∈ ∏_{i∈I} O_{i}} ⊇ A_{n−1}. Hence the set on the left side is unbounded in κ. (Theorem 2)

2 CH の同値命題

Theorem 3 (Erdős, 1962) 次の命題は CH と同値である： analytic functions の非可算な族 F ですべての z ∈ ℂ に対し， {f(z) : f ∈ F} が可算になるようなものが存在する．

Proof ¬CH を仮定する． F を analytic functions の非可算族とするとき， z ∈ ℂ で {f(z) : f ∈ F} が非可算になるようなものが必ず存在することを示す． f_{α}, α < ω_{1} を F の互いに異なる元とする． {α, β} ∈ [ω_{1}]^{2} に対し， S_{α,β} = {z ∈ ℂ : f_{α}(z) = f_{β}(z)} とすれば， S_{α,β} は可算となる [f, g を異なる analytic functons として， C を ℂ の 0 の回りのある一定の半径の円盤とすると {z ∈ C : f(z) = g(z)} は有限である — マクロラン展開を比較すればわかる]. したがって，仮定から， S = ℂ \ ⋃{S_{α,β} : {α, β} ∈ [ω_{1}]^{2}} とすれば S ≠ ∅ となる． z^{∗} ∈ S とすれば， f_{α}(z^{∗}), α < ω_{1} は互いに異なるから， {f(z^{∗}) : f ∈ F} は非可算になることがわかる．

次に， CH を仮定して，非可算な analytic functions の族 F で，どの z ∈ ℂ に対しても {f(z) : f ∈ F} が可算になるようなものが存在することを示す． ℂ = {v_{α} : α < ω_{1}} として， analytic functions の列 f_{α}, α < ω_{1} を次を満たすように構成する：

(∗) すべての β < α に対し， f_{α} ≠ f_{β} で， f_{α}(v_{β}) は（複素）有理数．

これが可能であることは次のようにしてわかる： f_{β}, β < α が構成されたとき， {v_{β} : β < α} を {w_{n} : n ∈ ω} と枚挙しなおして，複素有理数 ε_{n} > 0, n ∈ ω を十分に早く 0 に収束するように適当にとって，

f_{α}(z) = ε_{0}(z − w_{0}) + ε_{1}(z − w_{0})(z − w_{1}) + ε_{2}(z − w_{0})(z − w_{1})(z − w_{2}) + ⋯

と定義することにより (∗) を満たすような f_{α} が構成できる． F = {f_{α} : α < ω_{1}} とすれば， F は求めるようなものとなっている． (Theorem 3)

Theorem 4 (Sierpiński) 次の命題は CH と同値である：実平面 ℝ^{2} の分割 ℝ^{2} = A ˙∪ B で，

(i) すべての x ∈ ℝ に対し， A ∩ ({x} × ℝ) は可算となり， (ii) すべての y ∈ ℝ に対し B ∩ (ℝ × {y}) は可算となるようなものが存在する．

Proof CH が成り立つとして， ℝ = {x_{α} : α < ω_{1}} とする．このとき， A = {(α, β) : α, β ∈ ω_{1}, α > β}, B = {(α, β) : α, β ∈ ω_{1}, α ≤ β} とすれば， ℝ^{2} = A ˙∪ B で， A, B は定理の (i), (ii) を満たす．

次に ¬CH として， ℝ^{2} = A ˙∪ B とする． A が (i) を満たすとして， r_{α} ∈ ℝ, α < ω_{1} を互いに異なるものとする．このとき，

\begin{matrix}C = & \{x ∈ ℝ : ⟨r_{α}, x⟩ ∈ A for some α < ω_{1}\} \\ = & ⋃\{\{x ∈ ℝ : ⟨r_{α}, x⟩ ∈ A\} : α < ω_{1}\} \end{matrix}

の濃度は，高々 ≤ ℵ_{1} である．したがって仮定により ℝ \ C は空でないから， x^{∗} ∈ ℝ \ C をとれば， ℝ^{2} = A ˙∪ B とすれば， B ∩ (ℝ × {x^{∗}}) は {(x_{α}, x^{∗}) : α < ω_{1}} を含まなくてはならないから，可算ではありえない． (Theorem 4)

3 Generic ultrafilter

次の Proposition の証明の後半で次の事実を用いる（[Kanamori-book] の Lemma 0.3）：

For a binary relation R with field X, R is well-founded iff there is a ρ: X → On which is order-preserving, i.e. if ⟨x, y⟩ ∈ R, then ρ(x) < ρ(y). In particular, “R is well-founded” is Δ_{1}^{ZF} and hence absolute for transitive ∈-models of ZF.

[ “R is well-founded” は， “∀X′(X′ ⊆ X ∧ …)” という形でも “∃f(∀x ∈ X∀y ∈ X(…))” いう形でも表せることに注意する． ]

Proposition 5 (Proposition 5 in [Foreman])Suppose that I ⊆ P(Z) is a countably com- precipitous plete ideal. Then I is precipitous iff the following holds:

Suppose that X ⊆ Z is I-positive and ⟨A_{n} : n ∈ ω⟩ is such that A_{n} ⊆ P(Z), each A_{n} consists of representatives of a maximal antichain below [X]_{I} (in P(Z)/I) and that A_{n+1} is a refinement of A_{n} for all n ∈ ω. Then there are z ∈ Z and A_{n} ∈ A_{n} for all n ∈ ω such that A_{0} ⊇ A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ ⋯ and z ∈ ⋂_{n∈ω} A_{n}.

Proof Let G be a generic filter over B = P(Z)/I. Suppose that V^{Z}/G is not wellfounded. Then there are I-positive X ⊆ Z and B-names ḟ_{n}, n ∈ ω such that

[X]_{I} ∥–_{B} “ ∀n ∈ ω[ ḟ_{n} ∈ V ∧ ḟ_{n} : Z → V ∧ V^{Z}/Ġ ⊧ [ḟ_{n+1}] ∈ [ḟ_{n}] ] ”.

This is equivalent to:

[X]_{I} ∥–_{B} “ ∀n ∈ ω[ ⋯ ∧ [{z ∈ Z : ḟ_{n+1}(z) ∈ ḟ_{n}(z)}]_{I} ∈ Ġ ] ”.

For each n ∈ ω, let A_{n} consists of representatives of a maximal antichain below [X]_{I} such that for all A ∈ A_{n}

(a) [A]_{I} desides ḟ_{n} and ḟ_{n+1} to be f_{n}^{A}, f_{n+1}^{A} ∈ V;

(b) {z ∈ Z : f_{n+1}^{A}(z) ∈ f_{n}^{A}(z)} ⊇ A;

(c) A_{n+1} is a refinement of A_{n}. Suppose that there were z ∈ Z and A_{n} ∈ A_{n} for each n ∈ ω such that A_{0} ⊇ A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ ⋯ and z ∈ A_{n} for all n ∈ ω. For n ∈ ω, we have f_{n+1}^{A_{n}}(z) = f_{n+1}^{A_{n+1}}(z). Denoting this by z_{n+1} we obtain an ∈-descending chain z_{1} ∋ z_{2} ∋ z_{3} ∋ · · · . This is a contradiction.

Now suppose that X ⊆ Z and ⟨A_{n} : n ∈ ω⟩ are as above but without such z ∈ Z as in the proposition. Then, for each z ∈ Z, the set B_{z} = {A ∈ ⋃_{n∈ω} A_{n} : z ∈ A} is well-founded with respect to ⊆. Hence there is a rank fanction ρ_{z} : B_{z} → α_{z}. Let ρ̃_{z} : ⋃_{n∈ω} A_{n} → On be defined by:

ρ̃_{z}(A) = \{ \begin{matrix}ρ_{z}(A), & if z ∈ A, \\ ∅ & otherwise. \end{matrix}

For n ∈ ω, let ḟ_{n} be a B-name of a function on Z such that for each z ∈ Z and A ∈ A_{n} [A]_{I} ∥–_{B} “ ḟ_{n}(z) = ρ̃_{z}(A) ”. [A]_{I} for A ∈ A_{n} desides ḟ_{n} to be the ground model function f_{A} : ⋃_{n∈ω} A_{n} → On; z ↦ ρ̃_{z}(A). Hence we have ∥–_{B} “ ḟ_{n} ∈ ^{Z}V ∩ V ”.

Claim 5.1 [X]_{I} ∥–_{B} “ V^{Z}/Ġ ⊧ [ḟ_{n+1}] ∈ [ḟ_{n}] ”. for all n ∈ ω.

⊢ Suppose that [∅]_{I} ≠ [Y]_{I} ≤ [X]_{I}. Then there is A ∈ A_{n−1} such that [∅]_{I} ≠ [A ∩ Y]_{I}. Let A′ ∈ A_{n} be such that A ⊆ A′. We have:

[A ∩ Y]_{I} ∥–_{B} “ ḟ_{n+1} = f_{A} ∧ ḟ_{n} = f_{A′} ”.

Hence

[A ∩ Y]_{I} ∥–_{B} “ {z ∈ Z : ḟ_{n+1}(z) ∈ ḟ_{n}(z)} ⊇ A ”.

Since [A ∩ Y]_{I} ∥–_{B} “ [A]_{I} ∈ Ġ ”, it follows that [A ∩ Y]_{I} ∥–_{B} “ V^{Z}/Ġ ⊧ [ḟ_{n+1}] ∈ [ḟ_{n}] ”. By density argument, it follows that [X]_{I} ∥–_{B} “ V^{Z}/Ġ ⊧ [ḟ_{n+1}] ∈ [ḟ_{n}] ”.

⊣ (Claim 5.1)

(Proposition 5)

イデアル I ⊆ P(Z) が disjointing property を持つとは， I は countably complete で P(Z)/I の任意の antichain A に対し， A の representatives の族で pairwise disjoint なものが存在すること．

Proposition 6 If I ⊆ P(Z) has the disjointing property then I is precipitous. disjointing

Proof Suppose that X ⊆ Z is I-positive and ⟨A_{n} : n ∈ ω⟩ is such that A_{n} ⊆ P(Z), each A_{n} consists of representatives of a maximal antichain below [X]_{I} (in P(Z)/I) and that A_{n+1} is a refinement of A_{n} for all n ∈ ω. For each n ∈ ω, let A′_{n} be representatives of the same maximal antichain below [X]_{I} as the one A_{n} represents such that, for any A ∈ A_{n} and A′ ∈ A′_{n} representing the same element in the maximal antichain, A′ ⊆ A and that the elements of A′_{n} are pairwise disjoint. The last condition is possible because of the disjointing property. By σ-completeness of I, ⋂{⋃ A′_{n} : n ∈ ω} is non empty. Let z ∈ ⋂{⋃ A′_{n} : n ∈ ω}. For each n ∈ ω there is the unique A′_{n} ∈ A′_{n} with z ∈ A′_{n}. Then

A′_{0} ⊇_{I} A′_{1} ⊇_{I} A′_{2} ⊇_{I} · · · .

Let A_{n} be the unique element of A_{n} such that A_{n} =_{I} A′_{n}. Then ⟨A_{n} : n ∈ ω⟩ satisfies the condition in Proposition 5. (Proposition 6)

Proposition 7 Suppose that | Z | = κ and I ⊆ P(Z) is κ-complete and κ^{+}-saturated. Then I has the disjointing property. Hence, by Proposition 6, I is precipitous.

Proposition 8 Suppose that Z ⊆ P(X) and I ⊆ P(Z) is an ideal. Then the following normality are equivalent:

(1) For any A ∈ I^{+} (so A ⊆ Z) and any f : A → X such that f(a) ∈ a for all a ∈ A, there exists B ∈ I^{+} such that B ⊆ A and f |` B is constant.

(2) For any family A = {A_{x} : x ∈ X} ⊆ I, ▽A ∈ I. (Remember: ▽A = {z ∈ Z : ∃x ∈ z (z ∈ A_{x})}.)

Proof (1)⇒(2) (¬(2) ⇒ ¬(1)): Suppose that A = {A_{x} : x ∈ X} ⊆ I is such that ▽A ∉ I. Let A = ▽A and f : A → X be such that f(z) ∈ z with z ∈ A_{f(z)}. Suppose that there were B ∈ I^{+} with B ⊆ A and x^{∗} ∈ X such that f |` B takes the constant value x^{∗}. Then for any z ∈ B, z ∈ A_{x^{∗}}, i.e. B ⊆ A_{x^{∗}}. Since A_{x^{∗}} ∈ I, this is a contradiction. (2)⇒(1): Suppose that A ∈ I^{+}, A ⊆ Z and f : A → X is regressive. For each x ∈ X let A_{x} = {z ∈ A : f(z) = x}. If A and f are a counterexample to (1), then each A_{x} is in I. Let C = ▽{A_{x} : x ∈ X}.

Claim 8.1 C ⊇ A.

⊢ If there is a z ∈ A \ C, then z ∈ A and ∀x ∈ z (f(z) ≠ x). But this is a contradiction to the regressivity of f. ⊣ (Claim 8.1)

It follows that C ∉ I and hence {A_{x} : x ∈ X} is a counter-example to (2). (Proposition 8)

上の Proposition の (1) （または (2)）が成り立ち， I が fine のとき（i.e. すべての x ∈ X に対し， {A ∈ Z : z ∉ A} ∈ I） I は normal ideal であるという．

Proposition 9 Suppose that Z ⊆ P(X), I ⊆ P(Z) is a normal ideal and A ⊆ P(Z) with A = {A_{x} : x ∈ X} = {B_{x} : x ∈ X}. Then

△{A_{x} : x ∈ X} =_{I} △{B_{x} : x ∈ X}.

Proof We show that D = △{A_{x} : x ∈ X} \ △{B_{x} : x ∈ X} ∈ I. Suppose on the contrary that D ∉ I. For z ∈ Z, z ∈ D ⇔ ∀x ∈ z (z ∈ A_{x}) ∧ ∃y ∈ Z (z ∉ B_{y}). By normality there is D′ ⊆ D and y^{∗} ∈ X such that

z ∈ D′ ⇔ ∀x ∈ Z (z ∈ A_{x}) ∧ y^{∗} ∈ z ∧ z ∉ B_{y^{∗}}.

Now let x^{∗} ∈ X be such that B_{y^{∗}} = A_{x^{∗}}. Then D′ is disjoint from S = {z ∈ Z : x^{∗} ∈ z}. Since S ∈ Ĭ by fineness of I this is a conradiction. (Proposition 9)

κ ≤ λ を基数として，次の原理を考える：

(⊕_{κ,λ}) : There is Z ⊆ P_{κ}λ and a σ-saturated normal ideal I ⊆ P(Z).

ここに， I が σ-saturated とは 𝔹 = P(Z)/I が c.c.c. を満たすことであり， I が normal とは I が fine （i.e. すべての α ∈ λ に対し， {u ∈ Z : x ∈ u} は I の dual filter の元となる）で，次の意味の normality を満たすこと： for any A = {a_{α} : α ∈ λ} ⊆ I, ▽A ∈ I.

I ⊆ P(Z) が normal な（non-trivial な） ideal なら， P_{ω}λ ⊆ Z で，したがって | Z | ≥ λ となることに注意．

Proposition 10 Suppose that I ⊆ P(P_{κ}λ) is a normal maximal ideal, ℙ a c.c.c. p.o. and ccc H a P -generic set over V. In V [H], let Z = (P_{κ}λ)^{V}. Then, in V [H], Ĩ = {a ⊆ Z : a ⊆ b for some b ∈ I} is a σ-saturated normal ideal on Z. In particular, ∥–_{ℙ} “ (⊕_{κ,λ}) ”.

Proof That Ĩ is σ-saturated follows from Kakuda’s theorem (see e.g. Theorem 17.1 in [kanamori]). To see that Ĩ is normal, let Ȧ = {ȧ_{α} : α ∈ λ} be ℙ-names of a family of elements of Ĩ indexed by elements of Z. For each α ∈ λ, let D_{α} be a maximal disjoint family of elements of ℙ such that, for each d ∈ D_{α}, d ∥–_{ℙ} “ ȧ_{α} ⊆ b_{α,d} ” for some b_{α,d} ∈ I. By the c.c.c. of ℙ, each D_{α} is countable. Hence b_{α} = ⋃_{d∈D_{α}} b_{α,d} ∈ I. Clearly ∥–_{ℙ} “ ȧ_{α} ⊆ b_{α} ” for each α ∈ λ. Let b = ▽{b_{α} : α ∈ λ}. Then ∥–_{ℙ} “ ▽ Ȧ ⊆ b ”. Since I is normal, b ∈ I. Hence ∥–_{ℙ} “ ▽ Ȧ ∈ Ĩ”. (Proposition 10)

Proposition 11 Suppose that Z ⊆ P_{κ}λ and I ⊆ P(Z) is a σ-saturated normal ideal. ideal Then

(1) I is precipitous.

Let 𝔹 = P(Z)/I, G a 𝔹-generic filter over V and j : V → M ⊆ V [G] the canonical elementary embedding to (the transitive collapse of) the generic ultrapower M.

(2) j′′λ ∈ M.

(3) crit(j) = κ and j(κ) > λ.

(4) {j(C) : C ∈ [λ]^{<κ} ∩ V } is cofinal in [j′′λ]^{<κ} ∩ M (with respect to ⊆).

Proof

(1): Since I is σ-saturated I has the disjointing property. Hence by Proposition 6, I is precipitious.

(2): Let id_{Z} : Z → V; z ↦ z. Then [id_{Z}] = j′′λ (“⊇” by fineness of I and “⊆” by normality of I (c.f. Proposition 8) and genericity of G).

(3): To show crit(j) ≥ κ, suppose that [A]_{I} ∥–_{𝔹} “ M ⊧ [f] ≤ [i_{α}] ” for α < κ and f ∈ ^{Z}V. This means

[{z ∈ Z : f(z) ∈ α}]_{I} ≥ [A]_{I} .

By κ-completness

{[{z ∈ A : f(z) = β}]_{I} : β < α} \ {[∅]_{I}}

is predense below [A]_{I}. It follows that [A]_{I} ∥–_{𝔹} “ M ⊧ [f] = [i_{β}] for some β < α ”. This shows that j(α) = [i_{α}] = α.

On the other hand, we have κ < j(κ), since

M ⊧ κ ≤ λ = (cf(j′′λ))^{V} = cf(j′′λ) = cf([id_{Z}]) < cf j(κ) = j(κ)

by the proof of (2) above and Łos’s theorem. Hence crit(j) ≤ κ.

(4): Suppose that D ∈ [j′′λ]^{<κ} ∩M. Then j^{−1}′′D ∈ [λ]^{<κ} ∩V [G]. Since G is a generic filter over the c.c.c. 𝔹, there is C ∈ [λ]^{<κ} ∩ V with j^{−1}′′D ⊆ C. We have D ⊆ j(C). By crit(j) = κ, | j(C) | < κ. (Proposition 11)

次の自明な Lemma は Theorem 13 の証明で用いられる：

Lemma 12 Suppose that C ⊆ [A]^{<κ} is club. If D ⊆ C is upwards directed with | D | < κ

then ⋃ D ∈ C. upwards-directed

Proof By induction on | D |. If D is finite the claim of the lemma is trivial.

Suppose that D is infinite and that the lemma holds for all upwards directed D′ ⊆ C with | D′ | < | D |. Let κ = | D |. Then we can find an increasing sequence ⟨D_{α} : α < κ⟩ of upwards directed subsets of D such that | D_{α} | < | D | for all α < κ and D = ⋃_{α<κ} D_{α}. By inductive assumption D_{α} = ⋃ D_{α} is an element of C for all α < κ and hence ⟨D_{α} : α < κ⟩ is an increasing sequence in C. It follows that ⋃ D = ⋃_{α<κ} D_{α} ∈ C. (Lemma 12)

Theorem 13 mainthm Suppose that (⊕_{κ,λ}) holds. If A is a κ-free algebra and | A | ≤ λ then A is free.

Proof Let Z ⊆ P_{κ}λ and I ⊆ P(Z) be a σ-saturated normal ideal. Without loss of generality, we may assume that the underlying set of A is λ. Let C be a club set ⊆ [A]^{<κ} consisting of free subalgebras of A. Let G be a 𝔹 = P(Z)/I-generic filter. By Proposition 11, (1), I is precipitous. So let j : V → M ⊆ V [G] be the canonical elementary embedding to the transitive collapse of the generic ultrapower M. Let

D = {D ∈ j(C) : | D | < κ, D ⊆ j′′A}.

By Proposition 11, (2), D ∈ M. Clearly M ⊧ ⋃ D = j′′A.

Claim 13.1 D is upwards directed.

⊢ Suppose that D, D′ ∈ D. Then by Proposition 11, (4), there are C, C′ ∈ C such that D ⊆ j(C) and D′ ⊆ j(C′). Let C′′ ∈ C be such that C, C′ ⊆ C′′. Let D′′ = j(C′′). Then D, D′ ⊆ D′′ and by Proposition 11, (3), D′′ ∈ D. ⊣ (Claim 13.1)

Now in M let D′ ⊆ D be such that | D′ | ≤ λ, ⋃ D′ = j′′A and D′ is upwards directed. Since j(κ) > λ by Proposition 11, (3), M ⊧ ⋃ D′ = j′′A ∈ C by Lemma 12. Hence M ⊧ j′′A is free. It follows that V [G] ⊧ A is free. But since G is a generic filter over a c.c.c. Boolean algebra, it follows that V ⊧ A is free by Theorem 2.1 in [1]. (Theorem 13)

Corollary 14 Suppose that κ is a supercompact cardinal and ℙ a c.c.c. p.o. Then ccc-supercompact

∥–_{ℙ} “ any κ-free algebra is free ”.

Proof By Proposition 10 and Theorem 13. (Corollary 14)

Corollary 15 If it is consistent that there exists a supercompact cardinal, then MA with the following assertion is also consistent:

For any algebra B, if B is 2^{ℵ_{0}}-free then B is free.

Proof Start from a ground model with a supercompact κ. Force 2^{ℵ_{0}} = κ + MA by the usual c.c.c. p.o. By Corollary 14, the model thus obtained is as desired. (Corollary 15)

Proposition 16 Suppose that (⊕_{κ,λ}) holds. If S ⊆ S_{λ}^{<κ} = {α < λ : cf(α) < κ} is stationary in λ then there is γ < λ such that S ∩ γ is stationary in γ. stationary Proof Let G be 𝔹 = P(Z)/I-generic for Z and I as in (⊕_{κ,λ}), and j : V → M ⊆ V [G] be the canonical embedding to the transitive collapse of the generic ultrafilter. Let γ = sup j′′λ. j′′S ∈ M since j′′S = j(S) ∩ j′′λ and j′′λ ∈ M by Proposition 11, (2).

Claim 16.1 M ⊧ “j′′S is stationary in γ”.

⊢ To see this, it is enough to show that j′′S ⊆ γ is stationary in V [G]: let C ⊆ γ be a club in V [G]. Further in V [G], let D = {α ∈ γ : j(α) ∈ C} and D̃ be the closure of D. Then D̃ ∩ {α < λ : cf(α) < κ} ⊆ D. By σ-saturation of 𝔹, there is D′ ∈ V such that D′ ⊆ D̃ and D′ is club in λ. Let D′′ be the set of all limit points < γ of D′.

Subclaim 16.1.1 j′′D′′ ∩ j′′S_{λ}^{<κ} ⊆ C ∩ j′′S_{λ}^{<κ}.

⊢ Suppose that β ∈ j′′D′′ ∩ j′′S_{λ}^{<κ}, say β = j(α) for some α ∈ D′′ ∩ S_{λ}^{<κ}. Then there is u ⊆ α ∩ D such that | u | < κ and u is cofinal in α. Since j(u) = j′′u,

M ⊧ β is the limit of j′′u

by elementarity. Since j′′u ⊆ C it follows that β ∈ C. ⊣ (Subclaim 16.1.1)

Let β ∈ D′′ ∩ S. Then j(β) ∈ j′′D′′ ∩ j′′S ⊆ C ∩ j′′S. Since C was arbitrary, this shows that j′′S is stationary in V [G] and hence in M. ⊣ (Claim 16.1)

Now in M, j′′S ⊆ j(S) ∩ γ. Hence

M ⊧ “there is a γ < j(λ) such that j(S) ∩ γ is stationary”.

By elementarity of j, it follows that there is γ < λ such that S ∩ γ is stationary.

(Proposition 16)

次の Lemma 17 は [Kanamori] の命題 7.9 で， Proposition 18 で用いられる．

Lemma 17 (Kurepa, 1935). κ を正則とし， λ < κ とする． ⟨T, <_{T} ⟩ が κ-木で，各レヴェルの濃度は λ 未満なら， ⟨T, <_{T} ⟩ は共終枝を持つ． tree

Proof もし必要なら， T の極限レヴェルの元のいくつかを同一視することで， T の極限レヴェルの異なる元は，前のどれかのレヴェルで，異なった <_{T} に関する前の元を持つ，としてよい．さらに T = κ としてよい． T_{α} でこの木の α 番目のレヴェルを表すことにする． |T_{α}| < λ である．まず λ が正則であると仮定して結果を導く：

cf(α) = λ となる各 α < κ に対し， ξ_{α} ∈ T_{α} を選ぶ．このような α に対し， f(α) < α を，任意の ξ ∈ T_{α} − {ξ_{α}} に対し， ξ と ξ_{α} が T_{f(α)} で共通の <_{T} に関する前の元を持っていないようにとれる． {α < κ | cf(α) = λ} は κ で定常だから， Fodor の補題により， κ の非有界な部分集合 X で f がこの上で一定の値，例えば γ をとるものがある． |T_{γ}| < κ により， κ で非有界な Y ⊆ X で， T_{γ} の一つの元が {ξ_{α} | α ∈ Y } のすべての元の <_{T} に関する前の元となるようなものがある．ところが，このときには， {ξ_{α} | α ∈ Y } が ⟨κ, <_{T} ⟩ での連鎖となることはすぐにわかるから，これにより共終枝が得られる．

λ < κ が特異基数のときには，正則な ν < λ で， Y = {α < κ | |T_{α}| < ν} が κ で非有界となるものがある．上の議論により， ⋃_{α∈Y} T_{α} により得られる部分木は共終枝を持つ．ところが，そのような枝はもとの木での共終枝を生成する． (Lemma 17)

Proposition 18 Suppose that (⊕_{κ,λ}) holds. Then κ has the tree property. tree-property

tree-prop

Proof G be 𝔹 = P(Z)/I-generic for Z and I as in (⊕_{κ,λ}), and j : V → M ⊆ V [G] be the canonical embedding to the transitive collapse of the generic ultrafilter.

Suppose that T is a κ-tree in V. Without loss of generality, we may assume that T ⊆ V_{κ}. Then we have

M ⊧ “j(T) is a j(κ)-tree”.

Since κ is the critical point of j and | T_{α} | < κ for all α < κ, we have j(T)|` κ = T. Let t^{∗} ∈ j(T)_{κ} and ṫ^{∗} be a 𝔹-name of t^{∗} (in V). In V, let

T′ = {t ∈ T : b ∥–_{𝔹} “ t ≤ ṫ^{∗} for some b ∈ 𝔹^{+} ”}.

By the c.c.c. of 𝔹, T′ is a subtree of T of width ≤ ω and height κ. Hence, by Lemma 17, there is a κ-branch b through T′. Of course b is a κ-branch through T as well.

(Proposition 18)

Proposition 16 は (⊕_{κ,λ}) が大きな large cardinal の consistency strength を内包していることを示している．

まず復習をしておくと，

□_{λ}: There exists ⟨C_{α} : α ∈ Lim(λ^{+})⟩ such that, for all α ∈ Lim(λ^{+}), (i) C_{α} is club in α; (ii) o.t.(C_{α}) ≤ λ; and (iii) (Coherency) β ∈ lim(C_{α}) ⇒ C_{β} = C_{α} ∩ β.

Lemma 19 □_{λ} が成り立つとする． S ⊆ λ^{+} を stationary とするとき， stationary な

box

T ⊆ S で，すべての limit ordinal α < λ^{+} に対し， T ∩ α は α で non-stationary となるようなものが存在する．

Proof T ⊆ S∩Lim(λ^{+}) を stationary で，ある β^{∗} < λ^{+} に対し， α ∈ T ⇒ o.t.(C_{α}) = β^{∗} となるようなものとする（regressive な (S ∩ Lim(λ^{+})) \ (λ + 1) ∋ α ↦ o.t.(C_{α}) ∈ λ に Fodor’s lemma を適用することでこのような T がとれる）．

T が求めるようなものであることを示す． α ∈ Lim(λ^{+}) に対し T ∩ α が α で nonstationary になることを示せばよい． cf(α) = ω ならこれは明らか．

そこで cf(α) > ω とする． γ ∈ lim(C_{α}) とすると，上の (iii) により C_{γ} = C_{α} ∩ γ となるから，このような γ で o.t.(C_{γ}) = β^{∗} となるようなものは高々１つしかない．このことから | T ∩ α ∩ lim(C_{α}) | ≤ 1 となる． (i) により lim(C_{α}) は α で club だから， T ∩ α は non-stationary であることがわかる． (Lemma 19)

Corollary 20 (⊕_{κ,λ^{+}}) implies ¬□_{λ}.

Proof By Proposition 18 and Lemma 19. (Corollary 20)

次は [Cummings, Large Cardinal Properties of Small Cardinals] からの引用．

If 0^{#} does not exist then for every singular λ, we have λ_{V}^{+} = λ_{L}^{+}, from which it follows that V ⊧ □_{λ} for every singular .

これはやはり [Cummings, Large Cardinal Properties of Small Cardinals, Fact 3.10] によると，以下のように改良できる．

Theorem 21 (follows form results by Mitchell, Schimmerling, Steel and Woodin) If λ is singular and every stationary subset of λ^{+} reflects then Projective Determinacy holds. In particular for every n there is an inner model of ”ZFC + there exist n Woodin cardinals”.

(⊕_{κ,λ}) からは P_{μ}(λ) (μ < κ) での stationarity の reflection も導ける．

Lemma 22 λ > κ を regular cardinals として， ℙ は κ-c.c. を満たすとする．このとき，

(1) ∥–_{ℙ} “ P_{κ}(λ)^{V} は P_{κ}(λ) で cofinal”;

(2) ∥–_{ℙ} “ Ċ ⊆ P_{κ}(λ) ∧ Ċ は club” なら， club D ⊆ P_{κ}(λ) で ∥–_{ℙ} “ D ⊆ Ċ ” となるものが存在する（ただし一般には ∥–_{ℙ} “ D は club ” とは限らないことに注意）；

(3) S ⊆ P_{κ}(λ) が stationary なら， ∥–_{ℙ} “ S は stationary ”. pkappalambda

Proof (1): ∥–_{ℙ} “ ẋ ∈ P_{κ}(λ) ” なら， ℙ が κ-c.c. を満たすことから，ある μ < κ と ℙname ḟ で， ∥–_{ℙ} “ ḟ : μ → λ ∧ f[μ] = ẋ ” となるものがある．ふたたび ℙ が κ-c.c. を満たすことから，各 α < μ に対し， y_{α} ∈ P_{κ}(λ) で ∥–_{ℙ} “ ḟ(α) ∈ y_{α} ” となるものがとれる． y = ⋃_{α<μ} y_{α} とすれば， y ∈ P_{κ}(λ) で， ∥–_{ℙ} “ ẋ ⊆ y ” である．

(2): D = {x ∈ P_{κ}(λ) : ∥–_{ℙ} “ x ∈ Ċ ”} とすればよい．

(3): (2) から明らか． (Lemma 22)

Proposition 23 (⊕_{κ,λ}) を仮定する．任意の regular な μ < κ に対し， S ⊆ P_{μ}(λ) が stationary で C ⊆ P_{κ}(λ) が club なら， X ∈ C で S ∩ P_{μ}(X) が P_{μ}(X) で stationary になるようなものが存在する．

Proof Z と I を (⊕_{κ,λ}) でのようなものとし， G を 𝔹 = P(Z)/I-generic, j : V → M ⊆ V [G] を generic ultrafilter （の transitive collapse）への canonical embedding とする．このとき， Lemma 22, (3) により，

V [G] ⊧ “j′′S is stationary in P_{μ}(j′′λ)”

となる． j′′S ⊆ j(S) ∩ P_{μ}(j′′λ) だから，

M ⊧ j(S) ∩ P_{μ}(j′′λ) is stationary in P_{μ}(j′′λ)

が成り立つ．また， λ < j(κ) と j(C) の closedness により， M ⊧ j′′λ ∈ j(C) となるから，

M ⊧ “there is X ∈ j(C) such that j(S) ∩ X is stationary in X”

が成り立つ．したがって elementarity により，

V ⊧ “there is X ∈ C such that S ∩ X is stationary in X”

となり， Proposition が成り立つことがわかる． (Proposition 23)

\underline{数学ノート 1999/2000} 12

References

[1] Sakaé Fuchino, On potential embedding and versions of Martin’s axiom, Notre Dame Journal of Logic, Vol. 33, No. 4 (1992), 481–492.

4 nowhere dense ultrafilters etc.

ω 上の ultrafilter U が p-point であるとは，任意の ω の分割 ω = ˙⋃_{n∈ω}A_{n} で，すべての n ∈ ω に対し， A_{n} ∉ U となるものに対し， B ∈ U で， | B ∩ A_{n} | < ℵ_{0} がすべての n ∈ ω に対し成り立つようなものが存在すること．

Fact 24 ω 上の ultrafilter U が p-point となるのは，次が成り立つちょうどその時である：

(∗) {任意の U の元の ⊆ に関する下降列 A_{0} ⊇ A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ ⋯ に対し， A ∈ U で \atop A ⊆^{∗} A_{n} がすべての n ∈ ω に対し成り立つようなものが存在する．}

Proof まず U を p-point とする． A_{0} ⊇ A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ ⋯ を U の元の下降列とする．このとき， A_{−1} = ω として， n ∈ ω に対し， B_{n} = A_{n−1} \ A_{n} とすれば， ⟨B_{n} : n ∈ ω⟩ は P(ω) \ U の元による ω の partition となるから， A ∈ U で，すべての n ∈ ω に対し， | B_{n} ∩ A | < ℵ_{0} となるものが存在する．すべての n ∈ ω に対し，

| (ω \ A_{n}) ∩ A | = | (B_{0} ∪ ⋯ ∪ B_{n}) ∩ A | < ℵ_{0}

となるから， A ⊆^{∗} A_{n} がすべての n ∈ ω に対し成り立つことがわかる．

次に (∗) が成り立つとして， ω = ˙⋃_{n∈ω}A_{n} で，すべての n ∈ ω に対し， A_{n} ∉ U とする．このとき， B_{n} = ω \ (⋃_{m≤n} A_{m}) とすると ⟨B_{n} : n ∈ ω⟩ は U の元の ⊆ に関する下降列となるから， (∗) により， B ∈ U で， B ⊆^{∗} B_{n} がすべての n ∈ ω に対し成り立つようなものが存在する．このとき，すべての n ∈ ω に対し， B ∩ A_{n} ⊆ B \ B_{n} だから， | B ∩ A_{n} | < ℵ_{0} となり， B は p-point の定義でのようなものとなっていることがわかる．

(Fact 24)

ω 上の filter F が nowhere dense とは，どんな f : ω → ^{ω}2 に対しても， A ∈ F で， f′′A が^{ω}2 の nowhere dense subset となるようなものが存在すること．

Proposition 25 U が ω 上の p-point なら U は nowhere dense.

Proof U を p-point として， f : ω → ^{ω}2 を任意にとる． U の元の ⊆ に関する下降列 A_{n}, n ∈ ω をうまくとり， A ⊆^{∗} A_{n} がすべての n ∈ ω に対して成り立つような A について f′′A が nowhere dense になるようにする．

A_{0} = ω とする． s_{n}, n ∈ ω を Fn(ω, 2) の enumeration として， A_{0}, …, A_{n} が既に選ばれたとき， A_{n+1} を次のようにして決める: A_{n} ∩ f^{−1}′′[s_{n} ^{⌢} 0] と A_{n} ∩ f^{−1}′′[s_{n} ^{⌢} 1] を考えるとこれらの少なくともどちらかは U の元でない． i < 2 を A_{n} ∩ f^{−1}′′[s_{n} ^{⌢} i] ∉ U となるような最小のものとして， A_{n+1} = A_{n} \ f^{−1}′′[s_{n} ^{⌢} i] とする．このとき A_{n+1} ∈ U で， f′′A_{n+1} は [s_{n} ^{⌢} i] と素になる．

仮定により U は p-point だから， A ∈ U で A ⊆^{∗} A_{n} がすべての n ∈ ω に対し成り立つようなものがある．

f′′A が^{ω}2 で nowhere dense となることを示すために， O を^{ω}2 の任意の開集合とする．このとき， n ∈ ω で [s_{n}] ⊆ O となるものがある． A_{n+1} の構成から， i < 2 で f′′A_{n+1} ∩ [s_{n} ^{⌢} i] = ∅ となるものがある．この i に対し， f′′A ∩ [s_{n} ^{⌢} i] は有限となるから， s_{n} ^{⌢} i ⊆ s となる s ∈ Fn(ω, 2) で， f′′A ∩ [s] = ∅ となるものがとれる． (Lemma 25)

Lemma 26 p = 2^{ℵ_{0}} なら p-point が存在する．

Corollary 27 p = 2^{ℵ_{0}} なら nowhere dense filter が存在する．

Fact 28 Nowhere dense filter U は almost ultrafilter である．つまり， U ∪ {a} が finite intersection property を持つような a ⊆ で， ultrafilter を生成するようなものが存在する．

Theorem 29 (Błaszczyk-Shelah) Nowhere dense ultrafilter が存在する ⇔ σ-centered atomless Boolean algebra で Cohen reals を付加しないようなものが存在する．

あるいは，別の言い方をすると：

Nowhere dense ultrafilter が存在しない ⇔ σ-centered atomless Boolean algebra はすべて Cohen reals を付加する．

Fact 30 P が Knaster property つ atomless な p.o. なら， P は real を付加する．

Proof α ∈ On と P -name, τ̇ と p ∈ P を p ∥–_{P} “ τ̇ ⊆ α ∧ τ̇ ∉ V ” となるようにり， α はこのようなもののうち最小とする．このとき， cf(α) = ω であることを示す: そうでないとすれば， α の元の上昇列 ⟨α_{β} : β < ω_{1}⟩, P の元の列 ⟨p_{β} : β < ω_{1}⟩ および， α の部分集合の列 ⟨s_{β} : β < ω_{1}⟩ で，

p_{β} ∥–_{P} “ τ̇ ∩ α_{β} = s_{β} ”

となるものが存在する． P は Knaster property を持つから非可算な S ⊆ ω_{1} で， {p_{β} : β ∈ S} は pairwise compatible となるようなものがある．さらに， S の非可算な部分集合 S′ と P の元の列 ⟨q_{β} : β ∈ S′⟩ で，すべての β ∈ S′ と β′ = min S′ \ (β + 1) に対し， q_{β} ≤_{P} p_{β} かつ， q_{β} ∥–_{P} “ s_{β′} ≠ τ̇ ∩ α_{β′} ” となるようなものがとれる．ところがこのとき q_{β}, β ∈ S′ は pairwise incompatible となるから，これは P が Knaster property を持ち，特に c.c.c. を満たすことに矛盾である．したがって， cf(α) は可算となるから， ⟨α_{n} : n ∈ ω⟩ を α = sup_{n∈ω} α_{n} となる上昇列とすれば， T を

S_{n} = {s ∈ P(^{α_{n}}2) : p ∥–_{P} “ s′′{1} = τ̇ ∩ α_{n} ” for some p ∈ P }

を n 番目の lebel としてとる end-extension を順序とする高さが ω の木を考えれば， P はこの木に新しい枝を付加することがわかる． P が c.c.c. を満たすことから，各 S_{n} は可算である．したがって， T の枝に相当する real が P によって新しく付加されるから，命題

が証明できた． (Fact 30)

Remark 31 上の Fact で “P は Knaster property を満たす” は “P は c.c.c. を満たす” に弱めることはできない．例えば P を Suslin tree （を順序を反転させて考えたもの）とすると， P は c.c.c. を満たすが， P は real を付加しない．すべての “c.c.c. p.o. は reals を付加する” は Suslin tree の非存在と同値である．

F を ω 上の filter とする．このとき，次の性質を考察してみる：

(1) A ∈ [ω]^{ℵ_{0}} で F ∪ {A} は nontrivial ultrafilter を生成する．（F ∪ {A} の生成するフィルターを F^{A} と書くことにする．） (2) P(ω)/F は atom を持つ．

(3) P(ω)/F は有限．

明らかに (3) ⇒ (2) である（逆が言えないことの例は？）．

Lemma 32 (1) ⇔ (2).

Proof (2) ⇒ (1): A ∈ [ω]^{ℵ_{0}} を [A]_{F} が P(ω)/F の atom となるようなものとする．このとき， F^{A} が ultrafilter となることを示す．任意の B ∈ \overline{F} （i.e. ω \ B ∉ F ）に対し， [A]_{F} が atom であることから，

B ∩ A ∈ \overline{F} または A \ B ∈ \overline{F}

のどちらかが成り立つ． A \ B ∈ \overline{F} なら， C ∈ F で， (A \ B) ∩ C = ∅ となるものがある．このとき， A∩C ⊆ B となるから， B ∈ F^{A} である．もし B ∩A ∈ \overline{F} とすると， B′ = ω \B として， B′ ∩ A ∉ \overline{F} である（B′ ∩ A ∈ \overline{F} だったとすれば， A = (B ∩ A) ∪ (A′ ∩ A) ∈ F となるがこれは [A]_{F} が atom である，したがって non zero であることに矛盾する）．したがって，仮定から B′ \ B ∈ \overline{F} となり，上で示したことから B′ ∈ F^{A} がわかる．したがって F^{A} は ultrafilter である．

(1) ⇒ (2): A ∈ [ω]^{ℵ_{0}} で， F^{A} は ultrafilter とする．このとき， [A]_{F} が F の atom になることを示す． B ∈ [ω]^{ℵ_{0}} を [B]_{F} が P(ω)/F の positive element となるようにとる． [B]_{F} · [A]_{F} ≠ [0]_{F} として， [A]_{F} ≤ [B]_{F} となることを示す． [B]_{F} · [A]_{F} ≠ [0]_{F} から， B ∩ A ∉ \overline{F} となる．このことから F^{A} ∪ \{B ∩ A\} は finite intersection property を持つことがわかるから， F^{A} が ultrafilter により， B ∩ A ∈ F^{A} となる．したがって， C ∈ F で， C ∩ A ⊆ B ∩ A となるものが存在する．このことから， C ∩ A ⊆ B がわかり， [A]_{F} ≤ [B]_{F}

が帰結できる． (Lemma 32)

Lemma 33 F を ω 上の filter とする．このとき， F が nowhere dense でないことは，次の性質と同値である：

(∗) : g : ω → ^{ω>}2 で，次を満たすものが存在する： A ∈ F を任意にとるとき， g′′A は^{ω>}2 で somewhere dense となる．つまり ∃s ∈ ^{ω>}2 ∀t ∈ ^{ω>}2 (s ⊆ t → ∃u ∈ ^{ω>}2(t ⊆ u ∧ u ∈ g′′A)) が成り立つ．

somewhere-dense

Proof “F が nowhere dense でない” は，次と同値である：

(∗∗) : f : ω → ^{ω}2 で次を満たすものが存在する： A ∈ F を任意にとるとき， g′′A は ^{ω}2 で nowhere dense でない．つまり， ∃s ∈ ^{ω>}2 ∀t ∈ ^{ω>}2 (s ⊆ t → [t] ∩ f′′A ≠ ∅) が成り立つ．まず， F は nowhere dense でないと仮定して， (∗) が成り立つことを示す． f を (∗∗) でのようにとる． {s_{n} : n ∈ ω} を^{ω>}2 の enumeration として， g : ω → ^{ω>}2 を

g(n) = f(n)|` m_{n}

として定義する．ここに，

m_{n} = max{l(s_{k}) : k ≤ n ∧ s_{k} ⊆ f(n)}

とする．

g が (∗) でのようなものとなっていることを示す． A ∈ F とすると， (∗∗) により s ∈ ^{ω>}2 で，

∀t ∈ ^{ω>}2 (s ⊆ t → [t] ∩ f′′A ≠ ∅)

となるものがある． t ∈ ^{ω>}2 が s ⊆ t なら， t = s_{n} となるような n ∈ ω をとる．このとき， n′ ∈ A, n′ > n で t ⊆ f(n′) となるものがとれる： (∗∗) により， {m ∈ A : f(m) ∈ [t]} は無限となるからである． g の定義から， t ⊆ g(n′) となることがわかる．したがって g が (∗) でのような性質を持つことが示せた．

次に F が (∗) を満たすとして， F が nowhere dense でないことを示す． g を (∗) でのようなものとする．各 s ∈ ^{ω>}2 に対し， f_{s} ∈ ^{ω}2 を s ⊆ f_{s} となるように選んでおき，

f(n) = f_{g(n)}

で f : ω → ^{ω}2 を定義する．このとき， f が (∗∗) でのようなものとなっていることを示せばよい． A ∈ F をとり， s ∈ ^{ω>}2 を g に対し， (∗) でのようなものとする．このとき，任意の t ∈ ^{ω>}2 に対し， n ∈ A で t ⊆ g(n) となるものがある．したがって， f の定義から， t ⊆ g(n) ⊆ f(n) となり， f(n) ∈ [t] である．したがって (∗∗) が成り立つことがわかる．

(Lemma 33)

Lemma 34 F を ω 上の nowhere dense filter とするとき， P(ω)/F は有限になる．

Proof P(ω)/F が無限として F が nowhere dense でないことを示す． A_{n}, n ∈ ω を ω の分割で， [A_{n}]_{F} ≠ [∅]_{F} つまり， A_{n} ∉ \overline{F} がすべての n ∈ ω で成り立つようなものとする． {s_{n} : n ∈ ω} を^{ω>}2 の enumeration として， g : ω → ^{ω>}2 を

g(k) = s_{n} ⇔ k ∈ A_{n}

で定義する．このとき任意の A ∈ F に対し， f′′A = ^{ω>}2 となるから， g は上の (∗) でのようなものとなっていることがわかる．したがって Lemma 33 により F は nowhere dense

でない． (Lemma 34)

5 Free Set Theorem

以下は主に Lajos Soukup に教わった．証明も主に彼が教えてくれたものである． F : κ → P(κ) のとき， A ⊆ κ が F -free とは， ∀α ∈ A F (α) ∩ A ⊆ {α} となることとする． Theorem 35 λ < κ で F : κ → [κ]^{<λ} なら， A ∈ [κ]^{κ} で F -free なものが存在する．

Proof まず κ が regular の場合について定理を証明する． α < λ に関対し帰納的に A_{α} ⊆ κ, α < λ を次を満たすようにとる：

A_{α} ⊆ κ \ ⋃_{β<α} A_{β} で F -free, かつ， A_{α} はこのようなもののうちで maximal となっている．

ある α < λ に対し， | A_{α} | = κ ならよい．そこで，すべての α < λ に対し， | A_{α} | < κ と仮定する．したがって， A = ⋃_{α<λ} A_{α} とすると， κ は regular だから， | A | < κ となり，さらに A^{∗} = A ∪ ⋃ F ′′A とすると， | A^{∗} | < κ である．したがって， x^{∗} ∈ κ \ A^{∗} がとれるが，各 α < λ に対して x^{∗} ∈ κ \ ⋃_{β<α} A_{β} で A_{α} が maximal であることから， A_{α} ∪ {x} は F -free ではない．ところが x^{∗} ∉ ⋃ F ′′A_{α} だから， F (x^{∗}) ∩ A_{α} ≠ ∅ となることがわかる．各 α < λ に対し， x_{α} ∈ F (x^{∗}) ∩ A_{α} をとると， F (x^{∗}) ⊇ {x_{α} : α < λ} となるが，これは | F (x^{∗}) | < λ に矛盾である．

次に， κ が singular である場合を考える， regular な μ を λ, cf(κ) < μ < κ となるようにとり， ⟨κ_{ν} : ν < cf(κ)⟩ を regular な cardinals の上昇列で， κ_{0} > μ, lim_{ν<cf(κ)} κ_{ν} = κ となるものとする．

α < cf(κ) に対し， F -free な A_{α} ∈ [κ]^{κ_{α}} を， A_{α} ⊆ κ \ (⋃_{β<α} A_{β} ∪ ⋃ F ′′(⋃_{β<α} A_{β})) となるようにとる（これは regular の場合の証明により可能である）． α < cf(κ) に関する induction で pairwise disjoint な B_{γ}^{α} ∈ [A_{α}]^{κ_{α}}, γ < μ と ρ_{α} < μ を

(∗) (∀β < α)(∀ξ > ρ_{α})(∀x ∈ ⋃_{γ<μ} B_{γ}^{α}) [ F (x) ∩ B_{ξ}^{β} = ∅]

となるようにとる．このようなものがとれることは次のようにしてみることができる：今 β < α に対しては {B_{γ}^{β} : γ < μ} が (∗) を満たすように構成できたとして， ρ_{α} < μ を A′_{α} = {x ∈ A_{α} : ∀β < α ⋃_{ρ_{α}<ξ<μ} B_{ξ}^{β} ∩ F (x) = ∅} が濃度 κ_{α} となるようにとる．各 x ∈ A_{α} に対し， | F (x) | < λ < μ = cf(μ) だから， ρ < μ で， ⋃_{ρ<ξ<μ} B_{μ}^{β} ∩ F (x) = ∅ となるものが存在する．したがって，このような ρ_{α} がとれることがわかる． ⟨B_{γ}^{α} : γ < μ⟩ を A′_{α} の濃度 κ_{α} の部分集合への partition とすればよい．

このとき， A = ⋃_{α<cf(κ)} B_{ρ_{α}}^{α} とすれば， A は濃度が κ の F -free set となる．

(Theorem 35)

Theorem 36 (Free-Set-Theorem, Fodor) λ < κ で F : κ → [κ]^{<λ} なら， F -free な A_{α}, free-set-theorem α < λ で ⋃_{α<λ} A_{α} = κ となるものが存在する．特に κ が regular のときには， F -free な A ⊆ κ で κ の stationary subset となるものが存在することがわかる．

Proof まず次の補題を証明する：

Lemma 37 T ⊆ κ に対し，次を満たす B = {B_{α} : α < λ} が存在する：

各 α < λ に対し B_{α} ⊆ T で B_{α} は F -free B_{α}, α < λ は pairwise disjoint (∀x ∈ T \ ⋃_{α<λ} B_{α}) [ F (x) ∩ (⋃_{α<λ} B_{α}) ≠ ∅] Proof of Lemma 37 : [κ]^{λ} の元の列 ⟨S_{α} : α < κ⟩ で，各 S_{α} は F -closed で κ = ⋃_{α<κ} S_{α} となるものが存在する． α < κ に対し， R_{α} = (S_{α} \ ⋃_{β<α} S_{β}) ∩ T とおく． R_{α} = {r_{α,ξ} : ξ < λ} として， f_{α} : R_{α} → 2 を

f_{α}(r_{α,ξ}) = \{ \begin{matrix}1, & F (r_{α,ξ}) ∩ \{r_{α,η} : η < ξ, f_{α}(r_{α,η}) = 1\} = ∅ のとき \\ 0, & そうでないとき \end{matrix}

と定義して， B_{α} = f_{α}^{−1}[{1}] とする．このとき， {B_{α} : α < λ} は F -free な集合の族となるが， x ∈ T \ ⋃_{α<λ} B_{α} なら，ある α < κ と ξ < λ に対し， x = r_{α,ξ} となり， f_{α}(r_{α,ξ}) = 0 だから， f_{α} の定義から F (r_{α,ξ}) ∩ B_{α} ≠ ∅ がわかる． (Lemma 37)

Theorem 36の証明の続き： T^{0} = κ として B^{0} を上の補題でのようにとる．同様に，帰納的に T^{ν} = κ \ ⋃{⋃ B_{μ} : μ < ν} として， B_{ν} をこの T^{ν} に対し上の補題を適用して得られるものとする． B^{∗} = ⋃{B_{ν} : ν < λ} とすると B^{∗} は κ の F -free な部分集合の族となるが，次により {A_{α} : α < λ} = B^{∗} とすれば，これが求めるような性質を持つものとなっていることがわかる．

⋃ B^{∗} = κ である： x ∈ κ \ ⋃ B^{∗} が存在するとすれば，各 ν < λ に対し， x ∈ T_{ν} \ ⋃ B_{ν} だから， F (x) ∩ ⋃ B_{ν} ≠ ∅ となる．各 ν < λ に対し， x_{ν} ∈ F (x) ∩ ⋃ B_{ν} を選べば， T^{ν}, B^{ν}, ν < λ の定義から x_{ν}, ν < λ は互いに異るが， F (x) ⊇ {x_{ν} : ν < λ} だから，これは | F (x) | < λ に矛盾である． (Theorem 36)

6 Adding a club set ⊆ ω_{1} with finite conditions

次の半順序 P を考える:

p ∈ P ⇔ p ∈ Fn(ω_{1}, ω_{1}) ∧ ∃f : ω_{1} → ω_{1} continuously increasing with p ⊆ f.
p ≤ q ⇔ q ⊆ p.

このとき P は generic function f_{G} : ω_{1} → ω_{1} を付加するが，

Theorem 38 (Baumgartner [1]) P を上のような p.o. とするとき，

(a) f_{G} は continuously increasing function となる．

(b) P は proper p.o. である．

(c) P は axiom A を満たさない．

Proof (a): 示したいことは ∥–_{P} “ ḟ_{G} is continuously increasing ” である． f_{G} : ω_{1} → ω_{1} で， f_{G} が increasing になることは明らか． V [G] で f_{G} が continuous でなかったとすると， α ∈ Lim(ω_{1}) で， β′ = f_{G}(α) > β = sup_{γ<α} f_{G}(γ) となるものがある．今， p ∈ P がこの事実を force するようにとれば， continuousely increasing な f ∈ V, f : ω_{1} → ω_{1} で p ⊆ f となるものがとれるが， f(α) = β′ となるから， α′ < α, α′ ∉ dom(p) で f(α′) > β となるものがある． p′ = p∪{(α′, f(α′))} とすれば， p′ ⊆ f だから， p′ ∈ P となり， p′ ≤ p だが，

p′ ∥–_{P} “ β < f(α′) ≤ sup_{γ<α}ḟ_{G}(γ) ”

となり矛盾である．

(b): P が proper p.o. であることを示すが，このために， P での proper game G で Player II が winning strategy を持つことを言う．

復習: proper game G とは長さが ω の二人ゲームで， G での Players I, II の手は，

\begin{matrix}I & p; W_{0} & & W_{1} & & W_{2} & & ⋯ & W_{n} & & ⋯ \\ II & & B_{0}^{0} & & B_{0}^{1}; B_{1}^{1} & & B_{0}^{2}; B_{1}^{2}; B_{2}^{2} & ⋯ & & B_{0}^{n}; …; B_{n}^{n} & ⋯ \end{matrix}

ここに， p ∈ P; W_{i} は p の分割; B_{i}^{n} ∈ [W_{i}]^{ℵ_{0}} for i ≤ n < ω で，

II winns ⇔ ∃q ≤ p ∀n ∈ ω ( ⋃{B_{n}^{k} : k ∈ ω \ n} is predense below q).

次のような player II の strategy を考える： χ を十分に大きくとっておき， countable な elementary submodels M_{i} ≺ H(χ) の上昇列を， M_{i} ∩ ω_{1} ∈ ω_{1},

p, W_{0}, B_{0}^{0}, W_{1},…, W_{i−1}, B_{0}^{i−1},…, B_{i−1}^{i−1}, W_{i} ∈ M_{i}

となるようにとり， B_{j}^{i} = W_{j} ∩ M_{i} とする． M = ⋃_{i<ω} M_{i}, γ = M ∩ ω_{1} とする．

Claim 38.1 q = p ∪ {(γ, γ)} ∈ P .

⊢ p ∈ P で p ∈ M だから， continuously increasing な f ∈ M で p ⊆ f となるものがあるが， f が continuously increasing であることから， f(γ) = γ がわかる．したがって q ⊆ f である． ⊣ (Claim 38.1)

上の Claim と，次により，前述の Player II の strategy が G での winning strategy になっていることがわかる．

Claim 38.2 すべての n ∈ ω に対し， ⋃{B_{n}^{k} : k ∈ ω \ n} は q 以下で predense となっている．

⊢ q′ ≤ q とすると， continuously increasing な g : ω_{1} → ω_{1} で， q′ ⊆ f となるものがある． (γ, γ) ∈ q′ だから， f(γ) = γ である． q′′ = q′ ∩ (γ × γ) とすると， q′′ ∈ M だから，ある i ∈ ω に対し， q′′ ∈ M_{i} となる． i ≥ n としてよい．このとき， M_{i} ⊧ “W_{n} は p の分割” となっているから， q^{∗} ∈ M_{i} ∩ W_{n} で q′′ と compatible なものが存在する． q^{∗∗} ∈ P を q^{∗∗} ≤ q^{∗}, q′′ となるようにとる．このとき， continuously increasing な g : ω_{1} → ω_{1}, g ∈ M_{i} で q^{∗∗} ⊆ g となるものが存在するが， g ∈ M だから， g(γ) = γ となる．したがって，

h = g|` γ ∪ f |` (ω_{1} \ γ)

とすると r = q^{∗∗} ∪ q′ ⊆ h で h は continuously increasing である．したがって r ∈ P で r ≤ q′, q^{∗} となる． ⊣ (Claim 38.2)

(c) : P が Axiom A を満たさないことを示すには， P でのゲーム G_{ω} で Player I が winning strategy を持つことを示せばよい．ここで， G_{ω} のゲームは，

\begin{matrix}I & p; W_{0} & & W_{1} & & W_{2} & & ... \\ II & & B_{0} & & B_{1} & & B_{2} & ... \end{matrix}

という形をしている．ここに， p ∈ P で，各 W_{i} は p の分割で B_{i} ∈ [W_{i}]^{ℵ_{0}} である．このゲームで II が勝つのは， ∏_{n∈ω} ∑ B_{n} ≠ 0 となるとき，つまり， q ≤ p で，すべての n ∈ ω に対し， B_{n} が q 以下で predense となるようなものがあるときである．

I の winning startegy は次のような G_{ω} の言い換えを用いるとわかりやすい．ゲーム（これを G_{ω}^{ord} と呼ぶことにする）での Players I, II の手は，

\begin{matrix}I & p; α̇_{0} & & α̇_{1} & & α̇_{2} & & ⋯ & α̇_{i} & & ⋯ \\ II & & A_{0} & & A_{1} & & A_{2} & ⋯ & & A_{i} & ⋯ \end{matrix}

という形をしている．ここに p ∈ P で α̇_{i} は ordinal の P -name で A_{i} は ordinals の (V での) 可算集合である． Player II が勝つのは，ある q ≤ p で， q ∥–_{P} “ α̇_{i} ∈ A_{i} ” がすべての i ∈ ω に対し成り立つようなものが存在するときとする．

G_{ω} のゲームは G_{ω}^{ord} のゲームに自然に翻訳でき，逆翻訳も自然なものとして一意に決まる．したがって， Player I が G_{ω}^{ord} で winning strategy を持つことを示せばよい． ḟ を P の付加する generic function の P -name として， χ を十分に大きくとっておく． Player I は，彼の手と平行して可算な elementary submodels M_{i} ≺ H(χ) の上昇列を P, p, ḟ ∈ M_{0}, M_{i} ∩ ω_{1} ∈ ω_{1} (γ_{i} = M_{i} ∩ ω_{1} とする),

M_{n}, W_{n}, A_{n} ∈ M_{n+1}

を満たすようにとってゆき， α_{i} として， ḟ(γ_{i}) に相当する P -name をとる．この strategy が Player I の winning strategy であることを示すために， M = ⋃_{i∈ω} M_{i} として， γ = M ∩ω_{1} とする． q ≤ p を任意にとる．このとき， i^{∗} ∈ ω を十分に大きくとって， dom(q) ∩ γ ⊆ γ_{i^{∗}} となるようにする．このとき q′ ∈ P, q′ ≤ q で q′(γ_{i^{∗}+1}) ≥ γ_{i^{∗}+2} となるようなものがとれる： f : ω_{1} → ω を continuously increasing で q ⊆ f となるようなものとして， g ∈ M を

M ⊧ g : ω_{1} → ω_{1} ∧ g is continuously increasing ∧ g|` γ_{i^{∗}} = id_{γ_{i^{∗}}}
∧ g(γ_{i^{∗}+1≥γ_{i^{∗}+2}}) ∧ ∃α < ω_{1} [ g|` (ω_{1} \ α) = id_{ω_{1}\α}]

となるようにとる． f′ = f ∘ g とすれば， f′ : ω_{1} → ω_{1} で f′ は continuously increasing, q ⊆ f′ で f′(γ_{i^{∗}+1}) ≥ γ_{i^{∗}+2} となるから， q′ = q ∪ {⟨γ_{i^{∗}+1}, f′(γ_{i^{∗}+1})⟩} とすればよい．

このような q′ ≤ q に対し，

q′ ∥–_{P} “ ḟ(γ_{i^{∗}+1}) ≥ γ_{i^{∗}+2} ”

で， sup A_{i^{∗}+1} < γ_{i^{∗}+2} だから，

q′ ∥–_{P} “ α̇_{i^{∗}+1} ∉ A_{i^{∗}+1} ”

となる．したがって

q / ∥–_{P} “ α̇_{i^{∗}+1} ∈ A_{i^{∗}+1} ”

である．したがって，上の strategy は Player I の winning strategy となっていることが

わかる． (Theorem 38)

References

[1] J.E. Baumgartner, Applications of the Proper Forcing Axiom, Hanndbook of Set-Theoretic Topology, 913–960, (North-Holland, 1984).

7 Club guessing

以下の証明は平田君によるものである：

Theorem 39 (S. Shelah, Club Guessing Lemma の特殊な場合) λ > ω_{1} を regular cardinal として^{1}， S = S_{λ}^{ω} = {α < λ : cf(α) = ω} とする．このとき，列 ⟨c_{γ} : γ ∈ S⟩ で，すべての γ ∈ S に対し， c_{γ} ⊆ γ は cofinal かつ otp(c_{γ}) = ω で，すべての club set C ⊆ λ に対し， {γ ∈ S : c_{γ} ⊆ C} が stationary になるような（つまり，すべての λ の club subsets に対し ♣-sequence となるような）ものが存在する．

Proof 各 γ ∈ S に対し， d_{γ} ⊆ γ を cofinal で otp(d_{γ}) = ω となるように選んでおく． club set D ⊆ λ に対し， d_{γ}^{D}, γ ∈ S を

d_{γ}^{D} = {sup(D ∩ α) : α ∈ d_{γ}}

とする． d_{γ}^{D} ⊆ D ∩ γ である． D ⊆ λ が club のとき， D′ を D の limit points の全体からなる集合とすれば D′ も λ の club subset となるが，

S ∩ D′ ⊆ {γ ∈ S : d_{γ}^{D} は γ の cofinal な subset}

となることに注意しておく．

Claim 39.1 club set D^{∗} ⊆ λ で，すべての club set C ⊆ λ に対し， {γ ∈ S : d_{γ}^{D^{∗}} ⊆ C} が stationary になるようなものが存在する．

⊢ このような D^{∗} が存在しないと仮定して矛盾を導く．このとき， inductive に club sets の ⊆ に関する下降列 C_{ξ}, ξ < ω_{1} で，

C_{ξ+1} ∩ {γ ∈ S : d_{γ}^{C_{ξ}} ⊆ C_{ξ+1}} = ∅

となるようなものがとれる（limit γ < ω_{1} では C_{γ} = ∩_{ξ<γ}C_{ξ} とすればよい）．

(∗) C = ⋂_{ξ<ω_{1}} C_{ξ}

として， C′ を C の limit points の全体からなる集合とする． γ ∈ S ∩ C′ に対し， ξ^{∗} < ω_{1} が，すべての ξ^{∗} ≤ ξ < ω_{1} に対し， d_{γ}^{C_{ξ}} = d_{γ}^{C_{ξ^{∗}}} となるようとれる： ordinals の列 ⟨“d_{γ}^{C_{ξ}} の k 番目の元” : ξ < ω_{1}⟩ は decreasing だから，ある ξ_{k} < ω_{1} から一定になるので， ξ^{∗} = sup_{k∈ω} ξ_{k} とすればよい．特に， d_{γ}^{C_{ξ^{∗}}} = d_{γ}^{C_{ξ^{∗}+1}} である．ところが， d_{γ}^{C_{ξ^{∗}+1}} ⊆ C_{γ^{∗}+1} だが，一方 γ ∈ C_{γ^{∗}+1} により， d_{γ}^{C_{ξ^{∗}}} ⊈ C_{γ^{∗}+1} である．これは矛盾である． ⊣ (Claim 39.1)

上の claim でのような D^{∗} をとり， γ ∈ S に対し， c_{γ} を d_{γ}^{D^{∗}} が γ で cofinal なときには， c_{γ} = d_{γ}^{D^{∗}}, そうでないときには c_{γ} は γ の任意の cofinal な部分集合で otp(c_{γ}) = ω となるもの，とすれば， ⟨c_{γ} : γ ∈ S⟩ は求めるようなものとなる： C ⊆ λ を club とすれば， S′ = {γ ∈ S : d_{γ}^{D^{∗}} ⊆ C} は stationary となるが， D^{∗}′ を D^{∗} の limit points の全体の集合とすれば， Claim の前での議論により，

S′ ∩ D^{∗}′ ⊆ {γ ∈ S : d_{γ}^{D^{∗}} = c_{γ} ∧ d_{γ}^{D^{∗}} ⊆ C} ⊆ {γ ∈ S : c_{γ} ⊆ C}

となる．この包含式の左辺は stationary だから，右辺も stationary となる． (Theorem 39)

1λ > ω_{1} は， (∗) により必要である．

8 weakly compact cardinals の elementary embedding による特徴付け

κ が weakly compact とは，高々 κ 個の non logical symbols しか含まないような任意の L_{κ,κ}-文の集合 T が κ-satisfiable （つまり任意の T′ ∈ [T]^{<κ} が satisfiable）なら， satisfiable となること．

Theorem 40 κ を strongly inaccessible とするとき，以下は同値である：

(1) κ は weakly compact.

(2) 任意の transitive set N で κ ∈ N かつ | N | = κ となるものに対し， transitive set M と elementary embedding j : N → M で crit(j) = κ となるようなものが存在する．

Proof (1) ⇒ (2): N を (2) でのようにとる． L を ZFC の言語として， L̃ = L ∪ \{\underline{a} : a ∈ N\} ∪ \{\underline{c}\} とする．ここに各 a ∈ N に対し，\underline{a} はそれぞれ異なる新しい constant symbol とする．また\underline{c} は\underline{a}, a ∈ N のどれとも異なる新しい constant symbol とする．

T = \{φ(\underline{a}_{1},…, \underline{a_{n}}) : φ は L-formula でN ⊧ φ[a_{1},…, a_{n}] \}
∪\{“\underline{c} is an ordinal”\} ∪ \{“\underline{c} < \underline{κ}”\} ∪ \{“\underline{α} < \underline{c}” : α < κ\}
∪\{∀x < \underline{α} [ ⋁_{β<α} x = \underline{β}] : α < κ\} ∪ \{¬ ∃x_{1}∃x_{2} ⋯ [ ⋀_{n∈ω} x_{n+1} ∈ x_{n}] \}

とすると， T は κ-satisfiable となるから，仮定により T は satisfiable となる． T のモデル\overline{M} をとりこれの transitive collapse を M とする．各 a ∈ N に対し\underline{a} の M での解釈を対応させる mapping を j とすれば， j は elementary embedding で κ は j の critical point となる．

(2) ⇒ (1): T を高々 κ 個の non logical symbols しか含まないような L_{κ,κ}-文の集合とする． κ は strongly inaccessible だから， | T | ≤ κ である． T は κ-satisfiable と仮定する． φ ∈ T なら | TC(φ) | < κ としてよい． f : κ → T を bijection とする．また各 α < κ に対し， N_{α} を N_{α} ⊧ f′′α で | TC(N_{α}) | < κ となるようにとり， g : κ → V を α ↦ N_{α} により定義する．今， transitive な N を f, g, T, κ ∈ N, | N | = κ で，十分に大きな ZFC の fragment を満たすようにとり， M, j を (2) でのようにとる．このとき， elementarity から，

M ⊧ “j(g)(κ) ⊧ j(f)′′κ”

が成り立つが， j(f)′′κ = f′′κ = T である．したがって ⊧ の absoluteness から j(g)(κ) ⊧ T

がわかる． (Theorem 40)

上の証明をよく見ると，さらに Theorem 40 の (1), (2) は次とも同値になることがわかる:

(3) 任意の transitive set N で κ ∈ N かつ | N | = κ となるものと，任意の ξ < κ^{+} に対し， transitive set M と elementary embedding j : N → M で ξ ∈ M, crit(j) = κ, j(κ) > ξ となるようなものが存在する．

9 PFA を force する

[ T. Jech: Multiple Forcing による． ] Lemma 41 (Laver function) κ を supercompact とするとき， f : κ → V_{κ} で，すべての x ∈ V に対し，十分に大きな λ をとると， elementary embedding j : V → M で，

(0) crit(j) = κ;

(i) j(κ) > λ;

(ii) ^{λ}M ⊆ M;

(iii) (j(f))(κ) = x となるようなものが存在する．ここで “十分に大きな” は λ ≥ κ かつ λ ≥ | TC(x) | で十分である．

上のような f を Laver function と呼ぶ．

9.1 PFA を満たすモデルの構成

κ を supercompact とし， f を Laver function とする． CS-iteration ⟨P_{α}, Q̇_{β} : α ≤ κ, β < κ⟩ を次のように定義する： iteration の α-stage で，もし f(α) が P_{α}-names の組 ⟨Ṗ , Ḋ⟩ で，

∥–_{P_{α}} “ Ṗ は proper p.o. で Ḋ は Ṗ の dense subsets の < κ-sequence である． ”

なら， Q̇_{α} = Ṗ とし，そうでないなら Q̇_{α} は trivial p.o. （の P_{α}-name）とする．

このとき， ∥–_{P_{κ}} “ κ = ℵ_{2} ∧ PFA ” を示す．このために G を P_{κ}-generic over V とする． P_{κ} は proper だから， P_{κ} は ℵ_{1} を保存する． f(α) ∈ V_{κ} により， α < κ に対しては， | P_{α} | < κ となっている．したがって， P_{κ} は κ-c.c. を満たすから， V の cardinals ≥ κ は保存されている．また | P_{κ} | = κ により， 2^{ℵ_{0}} ≤ κ だが，命題：

(∗) P が proper で D = ⟨D_{α} : α < γ⟩ for some γ < κ が P の dense sets の列なら， P 上の filter F で D_{α} ∩ F = ∅ がすべての α < γ に対し成り立つようなものが 存在する．

が V [G] で成り立つことを証明する．これにより V [G] ⊧ κ ≤ ℵ_{2} と V [G] ⊧ PFA がわかる．

(∗) を証明するために， V [G] で P を proper p.o. とし， D = ⟨D_{α} : α < γ⟩ を P の dense subsets の γ-列とする（γ < κ）． Ṗ と Ḋ を対応する P_{κ}-names とする． λ を十分に大きくとる．簡単のために P ⊆ λ とする． f は Laver function だったから， elementary embedding j : V → M で，

(0) crit(j) = κ;

(i) j(κ) > λ;

(ii) ^{λ}M ⊆ M かつ

(iii) (j(f))(κ) = ⟨Ṗ , Ḋ⟩

となるようなものが存在する． (ii) により P ∈ M で， M ⊆ V だから， G は M 上 P_{κ}-generic だが，

Lemma 42 ^{λ}(M[G]) ⊆ M[G].

Proof まず， ȧ を P_{κ}-name で ∥–_{P_{κ}} “ ȧ ∈ M[Ġ] ” となっているものとすると， P_{κ} の maximal pairwise incompatible elements の列 ⟨p_{α} : α < η⟩ と P -names の列 ⟨ȧ_{α} : α < η⟩ で，すべての α < η に対し， ȧ_{α} ∈ M で， p_{α} ∥–_{P_{κ}} “ ȧ = ȧ_{α} ” となるようなものがとれる．

ȧ′ = {⟨p_{α}, ȧ_{α}⟩ : α < η}

とすると， ∥–_{P_{κ}} “ {ȧ} = ȧ′ ” となるが， P_{κ} の κ-c.c. により η < λ だから， (ii) により ȧ′ ∈ M である．ここで ȧ′′ ∈ V^{P} ∩ M を M ⊧ ∥–_{P_{κ}} “ {ȧ′′} = ȧ′ ” となるようなものとすれば， ∥–_{P_{κ}} “ ȧ = ȧ′′ ” となる．

λ(M[G]) ⊆ M[G] を示すために， b ∈ ^{λ}(M[G]) として， ḃ を b の P_{κ}-name で， ∥–_{P_{κ}} “ ḃ ∈ λ(M[G]) ” となっているものとする． P_{κ}-names ȧ_{α}, α < λ を ∥–_{P_{κ}} “ ḃ = {ȧ_{α} : α < λ} ” となるものとする．前のパラグラフでの考察から，各 ȧ_{α} は M の元としてよい．

ḃ′ = {⟨1_{P_{κ}}, ȧ_{α}⟩ : α < λ}

とすると， (ii) により， ḃ′ ∈ Mとなるが， ∥–_{P_{κ}} “ ḃ = ḃ′ ” である．したがって， b ∈ M[G]

がわかる． (Lemma 42)

P ∈ M だったから， P ∈ M[G] であるが，

Lemma 43 M[G] ⊧ “P は proper である． ”

Proof P は V [G] で proper だから，このことは，ある 2^{| P |} < η < λ に対する countable models の club set C ⊆ [V_{η}]^{ℵ_{0}} (in V [G]) によって保証される．したがって，前の Lemma により， C ∈ M[G] となり， M[G] ⊧“P は proper” がわかる． (Lemma 43)

さて， j(P_{κ}) を M で考えると， elementarity から，

M ⊧ “j(P_{κ}) は長さ j(κ) の CS-iteration”

が成り立つ． j|` κ は identity だから， P_{κ} = j(P_{κ})|` κ となっている． M での iteration の κstep では， j(f)(κ) = ⟨Ṗ , Ḋ⟩ となっており，上の Lemma から， M ⊧ ∥–_{P_{κ}} “ Ṗ は proper” だから， j(P_{κ}) は M で（したがって V でも） P_{κ} ∗ Ṗ ∗ Ṙ という形に分解できる． H を V [G] 上 (Ṗ)^{V [G]}-generic filter, K を V [G][H] 上 (Ṙ)^{V [G][H]}-generic filter として，以下 V [G][H][K] で議論を進める． Elementary embedding j^{∗} : V [G] → M[G][H][K] を， P_{κ}- name ẋ に対し，

j^{∗}(ẋ^{V [G]}) = j(ẋ)^{M[G][H][K]}

により定義する．これが well-defined であることは， V ⊧ p ∥–_{P_{κ}} “ ẋ = ẏ ” なら， elementarity により

M ⊧ j(p) ∥–_{j(P_{κ})} “ j(ẋ) = j(ẏ) ”

となり， j(p) = p (= p ∗ 1Ṗ ∗ 1Ṙ) であるからよい． j^{∗} の elementarity も同様に示せ， j^{∗} ⊇ j も容易にわかる．

F = {j^{∗}(p) : p ∈ H} とすると， P ⊆ λ ⊆ M だから F = {j(p) : p ∈ H} となり， j|` λ ∈ M により， F ∈ M[G][H][K] がわかる． F は j(P) の filter G^{∗} を生成する． H は V [G] で P -generic だったから，すべての α < γ に対し， H ∩ D_{α} ≠ ∅ となる．したがっ \underline{数学ノート 1999/2000} 26

て，すべての α < γ に対し， G^{∗} ∩ j^{∗}(D_{α}) ≠ ∅ である．一方， γ < κ = crit(j) = crit(j^{∗}) により， j^{∗}(D) = ⟨j^{∗}(D_{α}) : α < γ⟩ である．よって，

M[G][H][K] ⊧ “j^{∗}(D)-generic filter over j^{∗}(P) が存在する． ”

となる．したがって j^{∗} の elementarity により，

V [G] ⊧ “D-generic filter over P が存在する． ”

が導け，証明が完了する．