現在までの研究経過と着任後の研究計画

渕野 昌 (Sakae' Fuchino)

私の研究は, 無限論理のモデル理論に関する80年代初めの研究 ([0], [1]) で始まっています. ここでは, 一階の論理のモデル理論での Stablility Theory とのアナロジーを足掛かりにして, 無限論理の公理系が濃度の大きいモデルを持つ条件について研究しています. それ以降は主に, 非可算ブール代数に関連した問題の研究を行っています. ドクター論文に基づく [5] では, $P(\omega)/fin$ (あるいはこれの topological dual の $\omega^*$) の自己同型群の単純性が集合論から独立であることを証明しています. [4],[7],[9],[10] etc. では, almost free なブール代数の集合論的性質を研究しています. 私のここでの研究対象の幾つかの topological duals は, E.V. \v{S}\v{c}epin (Shepin), L.B. Shapiro などモスクワのトポロジストの研究していた, $\kappa$-metrizable spaces, Dugundji spaces などに関連があることが分かり, [4] などで開発された手法を用いて, [9], [10] では \v{S}\v{c}epin が80年代に提出した未解決問題の幾つかを解くことができました --- L. Heinforf (Berlin), A. B\l aszczyk (Katowice, Poland) などかつてロシアに留学してロシアの 集合論的トポロジーの事情に詳しい同僚が近くにいて, 彼らからロシア語の 文献について色々と教わることが出来たことが, この研究を始める きっかけとなりました. また L.B. Shapiro 本人とも親しく数学のディスカッションをする機会が何度か得られましたが, [12] はそのような議論を契機にして出来あがったものです. なお, L. Heindorf, L.B. Shapiro 共著のモノグラフ Nearly Projective Boolean Algebras, Lecture Notes in Mathematics \#1596 (1994) に, 私のこれらの結果の詳しい解説があります.

[6], [13] などでは, この almost free なブール代数の研究から派生した純粋な集合論の問題を扱っています. 特に, [6] で始められた研究は, Goldstern--Shalah, Bagaria などの仕事によりさらに進められており, 私自身も, 考えてみたいと思っている重要な未解決問題がいくつか残っています.

Almost free なブール代数に関しては, ドイツのベルリン自由大学における教授資格試験 (Habilitation) のための論文として提出した [19] は今までに得られた私自身の結果や Saharon Shelah との共同研究による未発表の結果を含む, この分野での現在までに知られている研究結果の survey となっています. 現在これを更に拡張したものを monograph として出版することを計画しています.

[10], [11], [15], [16] etc. は, Saharon Shelah 教授との共著論文です ---- 文献表の括弧内の Pub.No. は Shelah の論文目録での論文番号です. Shelah の論文は最近 600 番を突破し, 1995年の夏, イスラエルの Haifa で開催された Logic Colloquium `95 では, Shelah の 600 番目の論文の完成を記念する, というバンケットが盛大に行なわれました. --- Saharon Shelah は, 60年代後半以来, 数理論理学の研究での中心的存在で, Stability Theory, Proper Forcing, pcf-Theory, などの理論は, ほとんど彼一人によって作りあげられたといってよく, 非可算アーベル群の研究, 実数の集合論などの logic の応用分野でも, 他の追従を許さない観があります. また最近は logic の理論計算科学への応用でもめざましい研究結果をあげはじめています. 今世紀最大の数学者の一人と言えると思いますが, 彼の天才にまつわる逸話も多く, 本人を実際に知っていても, 何か神話の中の人物のような気がします. Shelah との共同研究は学ぶことが多く, また, 彼の共著者の一人であること自体大変な栄誉と考えており, この共同研究は今後も続けていきたいと思っています. Shelah との共同研究は, 彼によるアイデアの原石を共同研究者が磨く, というスタイルになることが多いのですが, これに甘んじず, 自分自身の研究をも行なえるよう心がけたいと思っています. また, 他の共同研究者とも, [17], [18] など現在進行中の研究が幾つかあり, これらの共著者との仕事も更に進めて行きたいと考えています ([18]は, e-mail による discussions で共同研究を進める, という研究スタイルによって出来上った論文です. また, 最近作の [20]は, 集合論の解析学への応用, という私にとって新しい方向の 仕事となっています. ).

情報科学の関連では, logic programming に興味を持っており, 1992年には, ベルリン自由大学の数学科で logic programming の論理学での基礎に関するゼミナールを指導しました. また, Ko\v{s}ice 大学(スロバキア)の多値論理での logic programming のプロジェクトとコンタクトがあり, この方面の共同研究を試みています.

また, これは`研究'という範疇からははずれるかもしれませんが, 1979年以来, 計算機の音楽への応用について様々な試みを行っています. 音楽/音響の texture の自動生成のために設計した言語のプロトタイプを 1980年代後半に C 言語のプレプロセッサーとして implement しましたが, これを用いて製作した自作の音楽作品が日本やドイツなどで演奏されています (日本での作品の演奏に関する記事が ASCII, Vol.12, \#12 (1988) にあります).

着任後の研究ということでは, 上で述べた数理論理学, 特に集合論の研究をひき続き行なってゆきたいと思っていますが, 数理論理学の数学の他の分野や理論計算機科学への応用, また, 上記の logic programming に関する研究も手がけたいと思っています.

[0] Klassifikationstheorie nicht elementarer Klassen, Diplom thesis, (1983).

[1] On the categoricity theorem in ${\cal L}_{\omega_1\omega}$, Tsukuba J.~of Math. Vol.10 No.1 (1986), 117--120.

[2] On $\nu^+$-saturated ordered fields and Boolean algebras, Coauthor: Sabine~Koppelberg, Algebra Universalis, Vol.~27 (1990), 511--520.

[3] Countable Chain Condition の Variations に関するリマーク, 数学, Vol.~43 (1991), No.~2, 174--175.

[4] On ${\cal L}_{\infty\kappa}$-free Boolean algebras, Coauthors: Sabine~Koppelberg, Makoto~Takahashi, Annals of Pure and Applied Logic, Vol.~55 (1992), 265--284.

[5] On the simplicity of the automorphism group of ${\cal P}(\omega)/fin$, Archive for Mathematical Logic, Vol.~31 (1992), 319--330.

[6] On potential embedding and versions of Martin's axiom, Notre Dame Journal of Logic, Vol.~33, No.~4 (1992), 481--492.

[7] More on ${\cal L}_{\infty\kappa}$-free Boolean algebras, Coauthor: Saharon Shelah (Pub.No. 557), in preparation.

[8] On ${\cal L}_{\infty\kappa}$-Cohen algebras, preprint, Fachbereich Mathematik Serie A 21-92, Freie Universit\"at Berlin (1992), 1--21.

[9] Some problems of \v{S}\v{c}epin on openly generated Boolean algebras, Proceedings of the Tenth Easter Conference on Model Theory Berlin, Fachbereich Mathematik der Humboldt-Universit\"at zu Berlin, (1993), 14--29.

[10] Some remarks on openly generated Boolean algebras, Journal of Symbolic Logic, Vol.~59 (1994), 302--310.

[11] On the number of openly generated Boolean algebras, Coauthor: Saharon Shelah (Pub.No. 558), in preparation.

[12] On a theorem of Shapiro, Coauthors: Saharon Shelah (Pub.No. 543) and Lajos Soukup, Mathematica Japonica, Vol.~40, No.~2 (1994).

[13] Sticks and clubs, Coauthors: Saharon Shelah (Pub.No. 544) and Lajos Soukup, preprint.

[14] Set-theoretic aspects of nearly projective Boolean algebras, Appendix to: Nearly projective Boolean algebras, Lutz Heindorf and Leonid B. Shapiro, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol.~1596 (1994), 165--194. \bibitem{14a} Almost free Boolean algebras, Proceeding of the annual meeting of the Israel Mathematical Union, 1994 (1995).

[15] Boolean algebras with weak Freese-Nation property, Coauthors: Sabine Koppelberg and Saharon Shelah (Pub.No. 549), to appear in Annals of Pure and Applied Logic.

[16] A game on partial orderings, Coauthors: Sabine Koppelberg and Saharon Shelah (Pub.No. 556), to appear in Topology and Its Applications.

[17] Non-isomorphism of some complete Boolean algebras, Coauthors: Saharon Shelah and Peter Vojt\/a\v{s}, in preparation.

[18] More set-theory around the weak Freese-Nation property, Coauthor: Lajos Soukup, to appear in Fundamenta Mathematikae.

[19] Set theoretic aspects of almost free Boolean algebras, Habilitation thesis, (1995), 0--iii + 1--87.

[20] Variations on a theorem of Helly, Coauthor: Szymon Plewik, preprint.


Sakae' Fuchino <fuchino@math.fu-berlin.de>

Last modified: Wed Nov 20 16:20:27 1996