\documentclass[12pt]{article}
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%% \def\dotpoQ{\dot{\mbox{ℚ}}}
%% \def\genG{\mbox{𝔾}}
%% \def\genH{\mbox{ℍ}}
\begin{document}
{\bf Definability of Laver-generic large cardinals and largeness of eneric large 
        cardinals with chain conditions}
\medskip

\rightline{\bf \href{https://fuchino.ddo.jp}{Sakaé Fuchino} (渕野 昌) --- 2022/10/07 (JST では 10/08) に予定されている 
  \href{https://nylogic.github.io/set-theory-seminar.html}{New York Set Theory Seminar} での
  講演の abstract の和訳}\bigskip\bigskip 



Posets のクラス ${\mathcal{P}}$ に対し，基数 $\kappa$ が，{\it generically 
supercompact by ${\mathcal{P}}$} (略して， 
{\it ${\mathcal{P}}$-gen.\ supercompact\/}) であるとは，任意の$\lambda\geq\kappa$ に対し，
$\mbox{ℙ}\in{\mathcal{P}}$ で，
すべての $({\sf V},\mbox{ℙ})$-generic な $\mbox{𝔾}$ に対し，$j$,
$M\subseteq{\sf V}[\mbox{𝔾}]$ で，
$j:{{\sf V}}\stackrel{\prec}{\rightarrow}_\kappa{M}$, $j(\kappa)>\lambda$, かつ
$j\mbox{\,''}{\lambda}\in M$ となるものが存在することである． 

基数 $\kappa$ が，{\it Laver-generically supercompact for ${\mathcal{P}}$} (略して， 
{\it ${\mathcal{P}}$-Laver-gen.\ supercompact\/}) であるとは，任意の 
$\lambda\geq\kappa$, $\mbox{ℙ}\in{\mathcal{P}}$ と $({\sf V},\mbox{ℙ})$-generic 
な $\mbox{𝔾}$ に対し，
${\mathcal{P}}$-name $\mbox{ℚ}$ で
$\mbox{\large ⫦}_{\mbox{ℙ}}\mbox{“\,}\mbox{ℚ}\in{\mathcal{P}}\mbox{”}$ となるものがあって，任意の 
$({\sf V},\mbox{ℙ}*\mbox{ℚ})$-generic な
$\mbox{ℍ} \supseteq \mbox{𝔾}$ に対し，
$j$, $M\subseteq{\sf V}[\mbox{ℍ} ]$ で，
$j:{{\sf V}}\stackrel{\prec}{\rightarrow}_\kappa{M}$, $j(\kappa)>\lambda$, かつ， 
$\mbox{ℙ}*\mbox{ℚ}$, $\mbox{ℍ} $, $j\mbox{\,''}\lambda\in M$ となるものが存在することである．

$\cal P$-gen.\ superhuge, $\cal P$-Laver-gen.\ superhuge cardinals は，対応する gen.\ 
supercompact cardinals の定義で，条件 
  $j\mbox{\,''}\lambda\in M$ を，$j\mbox{\,''}j(\kappa)\in M$ で置き換えることで定義できる． 

一見しただけでは，明らかでないが，generic large cardinals の上でのようなの定義は，
first-order で定義可能である (S.F, and H.\,Sakai \cite{1}).

基数 $\kappa$ が generic supercompact であることは， $\kappa$ のサイズを指定しないが，
$\kappa$ が Laver-generic supercompact であることは，“自然な” ${\mathcal{P}}$ の
設定の下では，基数 $\kappa$ のサイズや連続体のサイズを規定する (証明は A.Ottenbreit 
Maschio Rodrigues, and H.\,Sakai \cite{0} を参照): \bigskip

\noindent
(A) $\kappa$ が ${\mathcal{P}}$-Laver-gen.\ supercompact for ${\mathcal{P}}$ で，
①    すべての $\mbox{ℙ}\in{\mathcal{P}}$ は $\omega_1$ preserving である, 
②   すべての $\mbox{ℙ}\in{\mathcal{P}}$ は新しい reals を付加しない， かつ ③   
$\mbox{ℙ}_1\in{\mathcal{P}}$ で，$\omega_2$ を崩壊させるものがある，なら，$\kappa=\aleph_2$ 
で CH が成り立つ．\medskip

\noindent
(B) $\kappa$ が ${\mathcal{P}}$-Laver-gen.\ supercompact for ${\mathcal{P}}$ で，
①    すべての $\mbox{ℙ}\in{\mathcal{P}}$ は $\omega_1$-preserving で， ② ' ある
$\mbox{ℙ}_0\in{\mathcal{P}}$ で新しい real を付加するものが存在する，かつ ③   $\mbox{ℙ}_1$ 
で，$\omega_2$ を崩壊させるものがある，なら $\kappa=\aleph_2=2^{\aleph_0}$ が成り立つ．\medskip

\noindent
(C) $\kappa$ が ${\mathcal{P}}$-Laver-gen.\ supercompact for ${\mathcal{P}}$ で，
① ' すべての $\mbox{ℙ}\in{\mathcal{P}}$ は基数を保存し，\ 
② '  $\mbox{ℙ}_0\in{\mathcal{P}}$ で，新しい real を付加するものが存在するなら，$\kappa$ は
非常に大きなものになり， $\kappa\leq 2^{\aleph_0}$ が成り立つ． \bigskip


場合 (C) は，更に改良することができる (\cite{0}):\bigskip

\noindent
(C') $\kappa$ が tightly ${\mathcal{P}}$-Laver-gen.\ superhuge for ${\mathcal{P}}$ で，① ' 
すべての $\mbox{ℙ}\in{\mathcal{P}}$ は基数を保存し，② ' $\mbox{ℙ}_0\in{\mathcal{P}}$ で，
新しい real を付加するものが存在するなら，$\kappa$ は非常に大きなものになり
$\kappa=2^{\aleph_0}$ が成り立つ． 
\bigskip

\noindent
${\mathcal{P}}$-Laver-gen.\ {superhuge} な基数 $\kappa$ が 
{\it tightly ${\mathcal{P}}$-Laver-gen.\  
superhuge\/} であるとは，Laver-gen.\ superhugeness 定義での $\mbox{ℚ}$ が常に十分に小さな\ 
poset として取れることである --- 正確な定義は \cite{0} を参照．)

本講演では，上で述べた first-order での定義可能性の結果の証明の概略を与え，場合 (C) での，
$\kappa$ が非常に大きなものになる，ということの評価を与える結果を $\kappa$ が
強い連鎖条件を満たすという仮定の下で与える．


\begin{thebibliography}{xxx}
\bibitem{0} 
  S.F., A.\,Ottenbreit Maschio Rodrigues, and H.\,Sakai, 
  Strong downward L\"owenheim-Skolem 
  theorems for stationary logics, II --- reflection down to the continuum, 
  Archive for Mathematical 
  Logic, Vol.60, 
  3-4, (2021), 495--523. \\ \url{https://fuchino.ddo.jp/papers/SDLS-x.pdf}\bigskip 

\bibitem{1} 
  S.F., and H.\,Sakai, Generically supercompact cardinals by forcing with chain 
  conditions RIMS Kôkûroku, No.2213 (2022). \\
  \url{https://fuchino.ddo.jp/papers/RIMS2021-ccc-gen-supercompact-x.pdf}\bigskip


\bibitem{2} 
  S.F., and H.\,Sakai, The first-order definability of generic large cardinals, to appear. \\
  \url{https://fuchino.ddo.jp/papers/definability-of-glc-x.pdf}
\end{thebibliography}





\end{document}
