Definability of Laver-generic large cardinals and largeness of eneric large cardinals with chain conditions

Sakaé Fuchino (渕野 昌) — 2022/10/07 (JST では 10/08) に予定されている New York Set Theory Seminar での 講演の abstract の和訳

Posets のクラス \(\mathcal {P}\) に対し,基数 \(\kappa \) が,generically supercompact by \(\mathcal {P}\) (略して, \(\mathcal {P}\)-gen. supercompact) であるとは,任意の\(\lambda \geq \kappa \) に対し, \(\mbox {ℙ}\in {\mathcal {P}}\) で, すべての \(({\sf V},\mbox {ℙ})\)-generic な \(\mbox {𝔾}\) に対し,\(j\), \(M\subseteq {\sf V}[\mbox {𝔾}]\) で, \(j:{{\sf V}}\stackrel {\prec }{\rightarrow }_\kappa {M}\), \(j(\kappa )>\lambda \), かつ \(j\mbox {\,''}{\lambda }\in M\) となるものが存在することである.

基数 \(\kappa \) が,Laver-generically supercompact for \(\mathcal {P}\) (略して, \(\mathcal {P}\)-Laver-gen. supercompact) であるとは,任意の \(\lambda \geq \kappa \), \(\mbox {ℙ}\in {\mathcal {P}}\) と \(({\sf V},\mbox {ℙ})\)-generic な \(\mbox {𝔾}\) に対し, \(\mathcal {P}\)-name \(\mbox {ℚ}\) で \(\mbox {\large ⫦}_{\mbox {ℙ}}\mbox {“\,}\mbox {ℚ}\in {\mathcal {P}}\mbox {”}\) となるものがあって,任意の \(({\sf V},\mbox {ℙ}*\mbox {ℚ})\)-generic な \(\mbox {ℍ} \supseteq \mbox {𝔾}\) に対し, \(j\), \(M\subseteq {\sf V}[\mbox {ℍ} ]\) で, \(j:{{\sf V}}\stackrel {\prec }{\rightarrow }_\kappa {M}\), \(j(\kappa )>\lambda \), かつ, \(\mbox {ℙ}*\mbox {ℚ}\), \(\mbox {ℍ} \), \(j\mbox {\,''}\lambda \in M\) となるものが存在することである.

\(\cal P\)-gen. superhuge, \(\cal P\)-Laver-gen. superhuge cardinals は,対応する gen. supercompact cardinals の定義で,条件 \(j\mbox {\,''}\lambda \in M\) を,\(j\mbox {\,''}j(\kappa )\in M\) で置き換えることで定義できる.

一見しただけでは,明らかでないが,generic large cardinals の上でのようなの定義は, first-order で定義可能である (S.F, and H. Sakai [2]).

基数 \(\kappa \) が generic supercompact であることは, \(\kappa \) のサイズを指定しないが, \(\kappa \) が Laver-generic supercompact であることは,“自然な” \(\mathcal {P}\) の 設定の下では,基数 \(\kappa \) のサイズや連続体のサイズを規定する (証明は A.Ottenbreit Maschio Rodrigues, and H. Sakai [1] を参照):

(A) \(\kappa \) が \(\mathcal {P}\)-Laver-gen. supercompact for \(\mathcal {P}\) で, ① すべての \(\mbox {ℙ}\in {\mathcal {P}}\) は \(\omega _1\) preserving である, ② すべての \(\mbox {ℙ}\in {\mathcal {P}}\) は新しい reals を付加しない, かつ ③ \(\mbox {ℙ}_1\in {\mathcal {P}}\) で,\(\omega _2\) を崩壊させるものがある,なら,\(\kappa =\aleph _2\) で CH が成り立つ.

(B) \(\kappa \) が \(\mathcal {P}\)-Laver-gen. supercompact for \(\mathcal {P}\) で, ① すべての \(\mbox {ℙ}\in {\mathcal {P}}\) は \(\omega _1\)-preserving で, ② ’ ある \(\mbox {ℙ}_0\in {\mathcal {P}}\) で新しい real を付加するものが存在する,かつ ③ \(\mbox {ℙ}_1\) で,\(\omega _2\) を崩壊させるものがある,なら \(\kappa =\aleph _2=2^{\aleph _0}\) が成り立つ.

(C) \(\kappa \) が \(\mathcal {P}\)-Laver-gen. supercompact for \(\mathcal {P}\) で, ① ’ すべての \(\mbox {ℙ}\in {\mathcal {P}}\) は基数を保存し, ② ’ \(\mbox {ℙ}_0\in {\mathcal {P}}\) で,新しい real を付加するものが存在するなら,\(\kappa \) は 非常に大きなものになり, \(\kappa \leq 2^{\aleph _0}\) が成り立つ.

場合 (C) は,更に改良することができる ([1]):

(C’) \(\kappa \) が tightly \(\mathcal {P}\)-Laver-gen. superhuge for \(\mathcal {P}\) で,① ’ すべての \(\mbox {ℙ}\in {\mathcal {P}}\) は基数を保存し,② ’ \(\mbox {ℙ}_0\in {\mathcal {P}}\) で, 新しい real を付加するものが存在するなら,\(\kappa \) は非常に大きなものになり \(\kappa =2^{\aleph _0}\) が成り立つ.

\(\mathcal {P}\)-Laver-gen. superhuge な基数 \(\kappa \) が tightly \(\mathcal {P}\)-Laver-gen. superhuge であるとは,Laver-gen. superhugeness 定義での \(\mbox {ℚ}\) が常に十分に小さな poset として取れることである — 正確な定義は [1] を参照.)

本講演では,上で述べた first-order での定義可能性の結果の証明の概略を与え,場合 (C) での, \(\kappa \) が非常に大きなものになる,ということの評価を与える結果を \(\kappa \) が 強い連鎖条件を満たすという仮定の下で与える.

References

[1]    S.F., A. Ottenbreit Maschio Rodrigues, and H. Sakai, Strong downward Löwenheim-Skolem theorems for stationary logics, II — reflection down to the continuum, Archive for Mathematical Logic, Vol.60, 3-4, (2021), 495–523.
https://fuchino.ddo.jp/papers/SDLS-x.pdf

[2]    S.F., and H. Sakai, Generically supercompact cardinals by forcing with chain conditions RIMS Kôkûroku, No.2213 (2022).
https://fuchino.ddo.jp/papers/RIMS2021-ccc-gen-supercompact-x.pdf

[3]    S.F., and H. Sakai, The first-order definability of generic large cardinals, to appear. https://fuchino.ddo.jp/papers/definability-of-glc-x.pdf